第六章 6．3．5　平面向量数量积的坐标表示（课件）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

数学必修第二册（人教A） x1x2＋y1y2 x2＋y2 乘积的和 6．3．5　平面向量数量积的坐标表示 课程标准 核心素养 1．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． 2．能用坐标表示平面向量垂直的条件． 1．数学运算：掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积． 2．逻辑推理：能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直． 　知识探究区——注重知识生成过程 【情境导入】 问题：1.已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a·b如何用a，b的坐标表示？ 2．前面我们学习的两个向量数量积公式、模长公式以及垂直的充要条件分别是什么？ 提示：1.a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2， 因为i2＝|i|2＝1，j2＝|j|2＝1，i·j＝j·i＝0， 所以a·b＝x1x2＋y1y2. 2．数量积公式：a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉；模长公式：a·a＝|a|2或|a|＝ eq \r(a·a) ； 垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0. 【知识概括】 1．平面向量数量积的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ ． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 ． 2．平面向量模的坐标形式 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝ ，或|a|＝ ． (2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1)) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2)) ，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝ ． eq \r(x2＋y2) eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－x1))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－y1))\s\up12(2)) 3．平面向量垂直的充要条件的坐标表示 设a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2)) ，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 4．平面向量夹角的坐标表示 设a，b都是非零向量，a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2)) ，θ是a与b的夹角，则 cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ ． 【要点解读】 1．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，简记为“对应相乘计算和”． 2．与向量a同向的单位向量a0＝ eq \f(a,|a|) ，若a＝(x，y)，则a0＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(x2＋y2))，\f(y,\r(x2＋y2)))) .　 3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量b在向量a方向上投影的数量的坐标形式为2),\s\do1(1)) eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) )) . 4．要注意区分两个向量垂直与平行的坐标表示形式，垂直的坐标表示可简记为“横横纵纵积相反”． [示例](教材P34例11改编)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0)) ，e2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1)) ． (1)求a·b， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b)) ； (2)求a与b的夹角的余弦值． 解：(1)因为e1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0)) ，e2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1)) ，所以a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－2)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，1)) ，a＋b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，－1)) ， 则a·b＝3×4＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2)) ×1＝10， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c