第六章 6．3．4　平面向量数乘运算的坐标表示（课件）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

数学必修第二册（人教A） (λx1，λy1) 相应坐标 x1y2－x2y1＝0 6．3．4　平面向量数乘运算的坐标表示 课程标准 核心素养 1．会用坐标表示平面向量的数乘运算． 2．能用坐标表示平面向量共线的条件． 1．数学运算：掌握数乘向量的坐标运算法则． 2．数学抽象：理解用坐标表示两向量共线的条件． 　知识探究区——注重知识生成过程 知识点一　平面向量数乘的坐标运算 【情境导入】 问题：已知a＝(x1，y1)，你能得出λa的坐标吗？ 提示：λa＝λ(x1i＋y1j)＝λx1i＋λy1j，所以λa＝(λx1，λy1). 【知识概括】 若a＝(x1，y1)，λ∈R，则λa＝ ． 文字语言描述为：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量 的 ． [示例]1.(教材P31例6改编)已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，则2a－3b＝(　　) A．(－8，3) B．(－8，－3) C．(8，3) D．(8，－3) 解析：选C.由题意得2a－3b＝(2，6)－(－6，3)＝(8，3). 答案：C [对点练]1.(2022·湖南邵东高一检测)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝(　　 ) A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0) 答案：A 解析：因为向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)， 所以b＝(3，2)－2a＝(3，2)－2(1，2)＝(1，－2). 知识点二　平面向量共线的坐标表示 【情境导入】 问题：1.向量共线定理的内容是什么？ 2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a与b共线，如何用坐标表示这两个共线向量？ 提示：1.向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa． 2．因为a与b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb．如果用坐标表示， 可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝λx2，,y1＝λy2，)) 消去λ后得x1y2－x2y1＝0. 【知识概括】 1．两向量共线的充要条件 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b共线的充要条件是 ． 2．中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))) . 【要点解读】 (1)两向量共线的充要条件可变形为x1y2－x2y1.巧记为“外项积等于内项积”或“交叉相乘积相等”． (2)两个向量共线的坐标表示还可以写成 eq \f(x1,x2) ＝ eq \f(y1,y2) (x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． (3)当a≠0，b＝0时，a∥b，此时x1y2－x2y1＝0也成立，即对任意向量a，b都有x1y2－x2y1＝0⇔a∥b． [示例]2.(教材P31例7改编)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(1，2)，若a∥b，则实数x＝(　　 ) A．－2 B．5 C． eq \f(1,2) D．－5 解析：∵a＝(x，1)，b＝(1，2)，a∥b，∴2x－1×1＝0，解得x＝ eq \f(1,2) . 答案：C [对点练]2.判断下列各组中的向量是否平行： (1)a＝(1，3)，b＝(2，4)； (2)a＝(1，2)，b＝ . 解：法一　(1)∵1×4－3×2＝－2≠0， ∴a与b不平行． (2)∵1×1－2× eq \f(1,2) ＝0，∴a∥b． 法二　(1)∵ eq \f(1,2) ≠ eq \f(3,4) ，∴a与b不平行． (2)∵ eq \f(1,\f(1,2)) ＝ eq \f(2,1) ，∴a∥b． 　能力提升区——注重题型技法阐释 题型一 平面向量数乘的坐标运算 平面向量坐标运算的技巧 (1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系； (2)在进行平面向量坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算； (3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用． [例1](1)已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： ①2a＋3b；②a－3b；③ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,3) b． 解：①2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). ②a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)