第六章 6．3．1　平面向量基本定理（课件）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

数学必修第二册（人教A） λ1e1＋λ2e2 不共线 不共线 6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3．1　平面向量基本定理 课程标准 核心素养 理解平面向量基本定理及其意义． 1.数学抽象：了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理． 2．逻辑推理：会用基底表示平面内任一向量. 　知识探究区——注重知识生成过程 【情境导入】 火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．在力分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线的力． 问题：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示？ 提示：将两个不共线的向量及任一向量的起点平移到同一点，利用平行四边形法则以及数乘向量，可知平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示． 【知识概括】 平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个 的向量 结论 对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ 基底 若向量e1，e2 ，则{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 【要点解读】 平面向量基本定理的关注点 ①e1、e2是同一平面内的两个不共线向量； ②该平面内的任意向量a都可用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的； ③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底； ④定理的证明，课本中是用作图法证明了它的存在性，又用反证法证明了它的唯一性． [示例](教材P27练习1改编)如图，在△ABC中，D是BC的 中点，E是DC的中点，F是EC的中点，若 ＝a， ＝b， 则用a，b表示 的结果为______． 解析：由题意，可得 ＝ － ＝a－b， ∵D是BC的中点，E是DC的中点，F是EC的中点， ∴ ＝＝ eq \f(1,2) (a－b)． 同理， ＝＝ eq \f(1,4) (a－b)， ＝＝ eq \f(1,8) (a－b)， ∴ ＝ ＋ ＝b＋ eq \f(1,8) (a－b)＝ eq \f(1,8) a＋ eq \f(7,8) b． 答案： ＝ eq \f(1,8) a＋ eq \f(7,8) b [对点练]如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的 中点，EF与AC交于点G，若 ＝a， ＝b，用a，b表 示 ＝________． 解析： ＝ ＋ ＋ ＝a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,4) eq \o(BD,\s\up6(→)) ＝a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,4) (b－a)＝ eq \f(3,4) a＋ eq \f(3,4) b． 答案： eq \f(3,4) a＋ eq \f(3,4) b 　能力提升区——注重题型技法阐释 题型一 平面向量基本定理的理解 对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝x2，,y1＝y2.)) [例1]若e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有______．(填序号) ①若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； ②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对； ③线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量； ④当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量． 解析：①正确．若λ≠0，则e1＝－ eq \f(μ,λ) e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.②不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．③正确．平面α内的任一向量a都可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立；④不正确，结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2唯一确定． 答案：①③ [即时练]1.设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　) A．0，0 B．1，1 C．3，0 D．3，4 解析：∵向量e1与e2不共线，且3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＝4y－7，,10－y＝2x，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4.)) 答案：D 2．(2022·重庆南华中学高二检