第六章 6．2．4　向量的数量积（课件）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

数学必修第二册（人教A） ∠AOB 同向 反向 垂直 |a||b|cos θ a·b a·b＝|a||b|cos θ A1B1 0 a·b＝0 |a||b| -|a||b| |a|2 ≤ b·a λ(a·b) a·(λb) a·c＋b·c / 6．2．4　向量的数量积 课程标准 核心素养 1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 1．数学抽象：理解平面向量的数量积的定义． 2．直观想象：了解投影向量的概念． 3．逻辑推理：掌握向量数量积的性质及其运算律，并会应用． 知识探究区——注重知识生成过程 知识点一　向量的夹角 【情境导入】 问题：1.角是如何定义的？ 2．类比角的概念，如何定义两个向量的夹角？ 提示：1.具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边． 2．向量有方向，可以把两个向量平移到同一起点，则转化为前面学习的角． 【知识概括】 两向量的夹角 定义：已知两个非零向量a，b(如图所示)，O是平面上的 任意一点，作 ＝a， eq \o(OB,\s\up6(→)) ＝b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做 向量a与b的夹角． (2)特例：①当θ＝0时，向量a与b ； ②当θ＝π时，向量a与b ； ③当θ＝ eq \f(π,2) 时，向量a与b ，记作a⊥b． 【要点解读】 两向量夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ＞0时，θ∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ；当cos θ＜0时，θ∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) ；当cos θ＝0时，θ＝ eq \f(π,2) . 夹角与两向量位置关系对应如下： 范围 0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) eq \f(π,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) π 图形 关系 a与b同向 a与b的夹角为锐角 a与b垂直， 记作a⊥b a与b的夹角为钝角 a与b反向 [示例]1.如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB， BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角． (1) 与 ； (2) 与 ． 解：(1) 与 的夹角是∠EDF＝60° . (2)因为 ＝ ，所以 与 的夹角等于 与 的夹角，即∠EDA＝120° . [对点练]1.在上题条件下，求〈 ， 〉． 解：如图所示，延长FD到B′，使DB′＝FD，则 ′＝ ，则 与 的夹角等于 与 ′的夹角，即∠EDB′＝120° . 知识点二　平面向量的数量积 【情境导入】 我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积为力对物体所做的功，如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F|N，小车在水平面上位移s的大小为|s| m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W=|F||s|cos θ． 问题：(1)功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？ (2)给定任意两个向量a，b，能确定一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由． 提示：(1)W=|F||s|cos θ． (2)一般地，给定任意两个向量a，b，能确定一个类似的标量．这个标量为两向量的模长乘以其夹角的余弦． 【知识概括】 1．向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作 ，即 ．规定零向量与任一向量的数量积为 ． 2．投影向量 如图①，设a，b是两个非零向量， ＝a， ＝b，过 的起点A 和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影， 叫做向量a在向量b上的投 影向量． 　　 如图②，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则 就是向量a在向量b上的投影向量． 【要点解读】 1．两向量的数量积是一个实数，而不是向量，它的值可正、可负、可为0.两个非零向量的数量积符号由夹角的余弦值决定． 2．两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a， b的乘积ab(或a·b)是不同的． 3．若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1