第六章 6．2．3　向量的数乘运算（课件）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

数学必修第二册（人教A） 向量 相同 相反 0 －a λa＋μa λa＋λb λμ1a±λμ2b b＝λa ▱ 6．2．3　向量的数乘运算 课程标准 核心素养 1．通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义． 2．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 1．数学抽象：了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义． 2．数学运算：理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算． 3．逻辑推理：理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题． 知识探究区——注重知识生成过程 知识点一　向量的数乘运算 【情境导入】 在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电， 后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于音速，经 测量，光速大小约为音速的8.7×105倍． 问题：(1)光速和音速是向量还是数量？ (2)“同一方向上”的光速和音速有什么关系？ (3)如何描述同一方向上光速和音速的关系？ 提示：(1)速度既有大小又有方向，所以是向量． (2)“同一方向上”的光速和音速是两个共线向量，且方向相同． (3)光速可以用音速乘8.7×105来表示. 【知识概括】 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 ．这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；当λ<0时，λa的方向与a的方向 ． 由(1)可知，当λ＝0时，λa＝ ． 由(1)(2)可知，(－1)a＝ ． 【要点解读】 1．数乘的理解 (1)数乘向量的结果仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数； (2)不要忽略特殊情况：当λ＝0时，λa＝0.当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0； (3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算． 2．向量数乘的几何意义是把向量a沿着a的方向或反方向伸长或缩短．当λ＞0时，沿着a的方向伸长为原来的λ(λ＞1)倍或缩短为原来的 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<λ<1)) λ；当λ＜0时，沿着a的反方向伸长为原来的|λ|(|λ|＞1)倍或缩短为原来的 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|λ|<1)) |λ|． [示例]1.(教材P15练习2改编)若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 解析：由题意知a＝－ eq \f(5,7) b． 答案：－ eq \f(5,7) [对点练]1.判断正误． (1)λa的方向与a的方向一致．(　　 ) (2)若λa＝0，则a＝0.(　　 ) (3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b．(　　 ) 解析：(1)a≠0时，若λ<0，则λa与a方向相反； (2)也可能λ＝0； (3)当m＝0时，结论不一定成立． 答案：(1)×　 (2)×　　 (3)× 知识点二　向量数乘的运算律 【情境导入】 问题：求作向量3(2a)和6a，(2＋3)a和2a＋3a，2(a＋b)和2a＋2b(a为非零向量)，并进行比较． 提示： 由图形可以得出：3(2a)＝6a，(2＋3)a＝2a＋3a，2(a＋b)＝2a＋2b. 【知识概括】 1．设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝ ； (3)λ(a＋b)＝ ． 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb． 2．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ1a±μ2b)) ＝ ． 【要点解读】 1．向量的线性运算的法则在形式上很像实数加、减法与乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同的．不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用． 2. 向量数乘运算律的理论依据是两个向量相等的定义．所以证明此运算律的关键，是证明等式两边向量的模相等且方向相同，并对各种可能的情况，做全面的讨论． [示例]2.(教材P14例5改编)下列运算正确的个数是(　　 ) ① eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3)) ·2a＝－6a； ②2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2b－a)) ＝3a； ③ eq \b\lc\(\rc\)