第四章 4．2.1　对数运算（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教B版2019）

∴m＞0，n＞0， 1 2 1 1 ＋2 ∴ ＋ ＝ m m n 2 n ×(2m＋n) 1 4＋ n ＋4m ＝2 m n ( n × 4 m m n )≥1 4＋2 2 n 4m ＝4， 当且仅当 ＝ m 即 n＝2m 时，等号成立， n 即 m＝1，n＝1 时， 1 ＋2取得最小值 4. 2 答案： 4 m n 4.2 对数与对数函数 [课标解读]1.理解对数的概念.2.了解常用对数与自然对数.3.理解对数的运算法则.4.理解对数的换底公式． 4.2.1 对数运算 知识点一 对数的概念 1. 对数的定义 在表达式 ab＝N(a>0 且 a≠1，N∈(0，＋∞))中，当 a 与 N 确定之后，只有唯一的 b 能满足这个式子，此时，幂指数 b 称为以 a 为底 N 的对数，记作 b＝logaN， 其中 a 称为对数的底数，N 称为对数的真数． 知识剖析 为什么规定 a>0 且 a≠1 呢？ (1) 若 a<0，则当 N 为某些值时，b 的值不存在．如：b＝log(－2)8 不存在． (2) 若 a＝0，则 ①当 N≠0 时，b 的值不存在．如：log03(可理解为 0 的多少次幂是 3)不存在． ②当 N＝0 时，b 可以是除零以外的任意实数，是不唯一的，即 log00 有无数个值． (3) 若 a＝1，则 ①当 N≠1 时，b 的值不存在．如 log13 不存在. 学生用书 第 11 页 ②当 N＝1 时，b 可以为任意实数，是不唯一的，即 log11 有无数个值． ＝2. 因此规定 a>0 且 a≠1. 2. 对数 logaN(a>0 且 a≠1)的性质(1)零和负数没有对数，即 N>0． (2)1 的对数为 0，即 loga1＝0． (3) 底数的对数等于 1，即 logaa＝1． (4) 如果把ab＝N 中的b 写成logaN，则有alogaN＝N(对数恒等式)．如2log2 2＝ 2，10log102 (5) logaab＝b.因为 ab＝N⇔logaN＝b，所以 logaab＝b. 知识剖析 (1)(4)的作用是把任意一个正实数转化为以 a 为底数的指数形式． (2)(5)的作用是把任意一个实数转化为以 a 为底数的对数形式． (3)为什么零和负数没有对数？因为当 a>0 且 a≠1 时，b＝logaN 的充要条件是 ab＝N，而 当 a>0 且 a≠1 时，ab 恒大于 0，即 N>0，所以零和负数没有对数． 3. ( a )指数式与对数式的互化 指数式 ab＝N，根式b N＝a 和对数式 log N＝b(N>0，a>0 且 a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式．具体对应如下： 表达形式 a b N 对应的运算 ab＝N 底数 指数 幂 乘方，由 a，b 求 N b N＝a 方根 根指数 被开 方数 开方，由 N，b 求 a logaN＝b 底数 对数 真数 对数，由 N，a 求 b 由此可知： (1) 开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； (2) 弄清对数式与指数式的互换规则是掌握对数意义及其运算的关键． 知识点二 常用对数与自然对数 以 10 为底的对数称为常用对数，即 log10N 是常用对数．对了简便起见，常用对数的表示中，通常把底 10 略去不写，并把“log”写成“lg”，即把 log10N 简写为 lg N. 后续如果没有指出对数的底，则默认为指的都是常用对数．例如，“100 的对数是 2”，就是指“100 的常用对数是 2”． 在科学技术中，常常还使用以无理数 e＝2.718 28…为底的对数，以 e 为底的对数称为自 然对数，自然对数 logeN 通常简写为 ln N. 1. 对于下列说法： (1)零和负数没有对数； (2)任何一个指数式都可以化成对数式； (3)以 10 为底的对数叫做自然对数； (4)以 e 为底的对数叫做常用对数． 其中错误说法的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 C [只有符合 a>0，且 a≠1，N>0，才有 ax＝N⇔x＝logaN，故(2)错误．由定义可知(3)(4) 均错误．只有(1)正确．] ( 1 3 )－2 2. 将 ＝9 写成对数式，正确的是( ) A. ( 9 )log 1＝－2 B．log 9＝－2 3 1 C．log (－2)＝9 D．log3(－2)＝1 ( 9 )3 1 B [根3据对数的定义，得 log 9＝－2，故选 B．] 1 3. 若 loga2b＝c 则( ) 3 A．a2b＝c B．a2c＝b C．bc＝2a D．c2a＝b B [loga2b＝c⇔(a2)c＝b⇔a2c＝b.] 学生用书 第 12 页 4. 方程 2log x＝1的解是(