第四章 4．1.2　第1课时　指数函数（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教B版2019）

1 1 1 1 1 1 ∵2×5＝ma·mb＝m ＋ ，又 ＋ ＝2， a b a b ∴m2＝10，∴m＝ 10或 m＝－ 10(舍去)． 答案： 10 4.1.2 指数函数的性质与图象 [课标解读]1.理解指数函数的概念.2.理解指数函数的图象.3.理解指数函数的性质． 知识点一 指数函数的概念 1. 指数函数的概念 一般地，函数 y＝ax 称为指数函数，其中 a 是常数，a>0 且 a≠1. 知识剖析 为什么规定底数 a>0 且 a≠1? (1)若 a＝0，则当 x>0 时，ax＝0；当 x≤0 时，ax 无意义． (2) 若 a<0，则对于 x 的某些数值，可使 ax 无意义．如 y＝(－2)x，对于 x＝1，1，…，函数 2 4 值不存在． (3) 若 a＝1，则对任意的 x∈R，ax＝1 是一个常量，没有研究的必要性． 为了避免上述各种情况的发生，规定 a>0 且 a≠1.有此规定后，对任意的 x∈R，ax 都有意义．以下谈到指数函数 y＝ax 时，均默认为 a 是常数，a>0 且 a≠1. 2. 指数函数的结构特征 指数函数只是一个形式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①ax 的系数必须为 1；②底数为 学生用书 第 5 页 大于 0 且不等于 1 的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式． 说明：由于 y＝a－x＝ x ( 1 a )，因此 y＝a－x 也是指数函数． 知识点二 指数函数的图象和性质 指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象和性质如下表： 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 定点 图象过定点(0，1)，即当 x＝0 时，y＝1 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当 x>0 时，ax>1， 当 x＝0 时 ， ax＝1， 当 x<0 时， 0<ax<1. 当 x>0 时， 0<ax<1， 当 x＝0 时，ax＝1， 当 x<0 时，ax>1. 对称性 1 x 函数 y＝ax 与 y＝ a 的图象关于 y 轴对称 知识剖析 (1) 当底数 a 的大小不确定时，必须分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论函数的图象和性质． (2) 由指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的性质知，指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象恒过点(0， －1，1 1)，(1，a)， a ，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的大致图象． (3) 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称，根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象． 第 1 课时 指数函数 1. 下列函数中，指数函数的个数为( ) ( 1 2 ) ( 1 2 )x－1 2x ①y＝ A．0 C．3 ；②y＝ax(a>0，且 a≠1)；③y＝1x；④y＝ B．1 D．4 －1. B [由指数函数的定义可判定，只有②正确．] 2. 函数 f(x)＝3x－b(b 为常数)的图象过点(2，1)，求 f(4)的值( ) A．3 B．6 C．9 D．27 C [由 f(x)过点(2，1)，代入得 32－b＝1，∴b＝2， ∴f(x)＝3x－2，∴f(4)＝9.] ( ＝ 的定义域为 )3．函数 f(x) 1 ( ) 2x－1 A．R B．(0，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，0) B [要使函数有意义． 则 2x－1>0，∴2x>1，∴x>0.] 4．(多选)已知集合 A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( ) A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＜1} D．A∩B＝∅ AC [集合 A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．] ( 1 3 )x 5．函数 f(x)＝ ( 1 3 )x －1 的值域为 ． 解析： ∵ >0，∴f(x)>－1. 答案： (－1，＋∞) 学生用书 第 6 页 题型一 指数函数概念的应用 (1)若 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，则有( ) A．a＝1 或 2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0 且 a≠1 －2，1 (2)指数函数 y＝f(x)的图象经过点 4 ，那么 f(4)·f(2)等于 ． [思路点拨] (1)根据指数函数的定义可知，底数 a>0 且 a≠1，ax 的系数是 1. －2，1 (2)先设指数函数为 f(x)＝ax，借助条件图象过点 a2－3a＋3＝1， 解析： (1)由指数函数的定义得 a>0， a≠1. 4 求 a，最后求值． 解得 a＝2. (2)设