第四章 4．1.1　实数指数幂及其运算（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教B版2019）

4．1 指数与指数函数 4．1.1 实数指数幂及其运算 m [课标解读]1.理解分数指数幂 an (a>0，a≠1，m，n 为整数，且 n>0)的含义.2.了解指数幂 的拓展过程.3.掌握指数幂的运算性质． 知识点一 有理指数幂 1．整数指数幂 整数指数幂 正整数指 数幂 规定 an＝ (n∈N＋)为正整数指数幂． 零指数幂 规定 a0＝1(a≠0)为零指数幂． 负整数指 数幂 规定 a－n＝ 1 (a≠0，n∈N )为负整数指数幂. ＋ an 运算法则 若 m，n 是整数，则有 aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)m＝ambm. 2.n 次方根、根式的定义与性质 (1) n 次方根的定义与性质 定义 一般地，给定大于 1 的正整数 n 和实数 a，如果存在实数 x，使得 xn＝a，则 x 称为 a 的 n 次方根． 性质 n (1) 0 的任意正整数次方根均为 0，记为 0＝0. (2) 正数 a 的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为 a 的 n n n 次算术根，记为 a，负的方根记为－ a. n 注意：负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当 a<0 且 n 为偶数时， a 在实数范围内没有意义. n (3) 任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为 a.而且正数的奇数次方根 是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数. (2) ( 定义 ) ( n 当 a 有意义时， a 称为根式， n 称为根指数， a 称为被开方数 . ) ( n )根式的定义与性质 ( | a | （ n 为偶数） . 性质 ) ( n ( 1 )( a ) n ＝ a ( n ∈ N ＋ ，且 n > 1 ) ； a （ n 为奇数 ） ， ) ( n (2) a n ＝ )3.分数指数幂 分数指数幂 正分数指数幂 1 n 当 a＞0 时，规定 an＝ a m n m an ＝( a)m(n，m∈N＋且 为既约分数). n 负分数指数 幂 m 1 当 a＞0 时，规定 a－ n ＝ (n，m∈N ). m ＋ an 运算法则 一般情况下，当 s 与 t 都是有理数时，有 asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs. 知识剖析 (1) 0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义． m n (2) 式子 an ＝( n a) m＝ am在m n 不是既约分数(即 m，n 有大于 1 的公因数)时可能会有歧 2 6 2 6 义．例如，(－8)6＝ （－8）2是有意义的，而(－8)6＝( －8)2 是没有意义的．因此，以后如 果没有特别说明，一般总认为分数指数幂中的指数都是既约分数． 学生用书 第 2 页 知识点二 实数指数幂 1. 无理指数幂 一般地，当 a>0 且 t 是无理数时，at 都是一个确定的实数，有理指数幂的运算法则同样适用于无理指数幂． 说明：0 的正无理指数幂为 0，0 的负无理指数幂没有意义． 2. 实数指数幂 一般地，当 a>0 且 t 为任意实数时，可以认为实数指数幂 at 都有意义，至此，指数幂中的指数从整数拓展到了实数．对于任意实数 s，t，有理指数幂的运算法则也适用于实数指数幂． 3 1. 将 －2 2化为分数指数幂，其形式是( ) 1 1 A．22 B．－22 C．2 1 1 ( － ) ( 2 )2 D．－2－ 3 1 B [ －2 2＝(－2 2)3 1 1 3 1 1 ＝(－2×22)3＝(－22)3＝－22.] 2．b4＝3(b>0)，则 b 等于( ) 1 A．34 B．34 C．43 D．35 4 B [因为 b4＝3(b>0)，∴b＝ 1 3＝34.] 3．(多选)下列各式正确的是( ) ( A ． （－ 3 ） 2 ＝ 3 ) 4 ( B 4 )． a ＝a 3 3 C．( －2)3＝－2 D． （－2）3＝2 ( ， )AC [ 由 于 （－3）2＝3 4 3 a4＝|a|， （－2）3＝－2，故选项 B，D 错误，故选 AC．] 81 。 ( － )4. 625 ＝ 1 4的值是 ． ( － )1 81 4 625 1 4 625 4 5 4 54 4 5 解析： 625 ＝ 81 4＝ ＝ ＝ 81 34 3 ＝ . 3 答案： 5 3 5．(多选)(2021·黑龙江省牡丹江市期末考试)下列运算结果中，一定正确的是( ) A．a3×a4＝a7 B．(－a2)3＝a6 5 C．3a3＋2a3＝5a6 D． （－π）5＝－π 5 AD [A．a3×a4＝a7，正确；B．(－a2)3