第四章 4．5　增长速度的比较（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教B版2019）

1 1 (3)因为 2 3< 0 ( 1 2 )＝1； ( 3 2 )3 1 而 2 4> 1 1 0 ＝1； 3 1 所 以 2 3< 2 4. [能力提升] 11．(多选)关于幂函数 f(x)＝xα，下列说法正确的是( ) A．若 f(x)＝x－2，则 f(x)的定义域是{x|x≠0} B. 若α＝－1，则 f(x)是减函数 C. 若 f(x)＝xα的图象经过点(2，8)，则其解析式为 f(x)＝x3 x1＋x2 1 f（x1）＋f（x2） D．若 f(x)＝x2，则对于任意的 x1，x2∈[0，＋∞)，都有 f 2 ≥ 2 ACD [f(x)＝x－2＝ 1 的定义域为{x|x≠0}，A 选项正确；α＝－1<0，f(x)＝x－1 定义域为(－ x2 ∞，0)∪(0，＋∞)，且 f(x)＝x－1 在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，而不能说 f(x)在定义域上是减函数，故 B 选项错误；把点(2，8)代入，此时 2α＝8，解得：α＝3，所以 f(x)＝x3，选项 x1＋x2 C 正确；任意的 x1，x2∈[0，＋∞)，f 2 ＝ x1＋x2 f（x1）＋f（x2） x1＋ x2，其中 ( x 1 ＋ x 2 2 )2 x ＋x x1 ( ＋ x 2 )2 x ＋x ＋2 x x ， 2 2 2（x ＋x ） ＝ 2 x ＋x ＝ 1 2， 2 2 时等号成立． ＝ 1 2 4 1 2≤ 1 2 ＝ 1 4 2 2，当且仅当 x1＝x2 所以 f x1＋x2 2 f（x1）＋f（x2） ≥ 2 ，选项 D 正确．故选 ACD．] 12. 已知函数 f(x)＝x2，若 f(x)＋g(x)是幂函数，且 f(x)＋g(x)是奇函数，试写出一个符合条件的函数 g(x)＝ ． 解析： ∵f(x)＝x2，∴f(x)为偶函数， ∵f(x)＋g(x)是幂函数，且 f(x)＋g(x)是奇函数， 可设 f(x)＋g(x)＝x，即 g(x)＝x－x2(答案不唯一)． 答案： x－x2(答案不唯一) 13. 已知幂函数 f(x)＝xα的部分对应值如下表： x 1 1 2 f(x) 1 2 2 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是 ． ( 1 2 ) 2 α 1 解析： 由表中数据知 ＝ 2 1 ∴f(x)＝x2. ，∴α＝ ， 2 1 ∴|x|2≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4. 答案： {x|－4≤x≤4} 学生用书 第 28 页 4.5 增长速度的比较 [课标解读]1.了解平均变化率.2.理解增长速度的比较.3.知道函数模型是描述客观世界中 变量关系和规律的重要数学语言和工具． 知识点一 平均变化率 我们已经知道，函数 y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2 时)或[x2，x1](x1＞x2 时)上的平均变化 率为 Δf f（x2）－f（x1） ＝ . Δx x2－x1 也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解 为：自变量每增加 1 个单位，函数值平均将增加Δf 个单位．因此，可用平均变化率来比较函 Δx 数值变化的快慢． 知识剖析 (1) 注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δf＝f(x2)－f(x1)；若Δx ＝x1－x2，则Δf＝f(x1)－f(x2)． (2) 平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为 0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2 在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但 f(x)＝x2 在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]． 知识点二 增长速度的比较1．几类不同增长的函数模型(1)一次函数模型 一次函数模型 y＝kx(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2) 指数函数模型 指数函数模型 y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”． (3) 对数函数模型 对数函数模型 y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4) 幂函数模型 当 x＞0，n＞1 时，幂函数 y＝xn 是增函数，且当 x＞1 时，n 越大其函数值的增长速度就越快． 2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和 y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上． 随着 x 的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n＞0)的增长速度，而 y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．