第四章 4．4　幂函数（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教B版2019）

b 是方程 x＋log2x＝2 的根，即是 y＝log2x 和 y＝2－x 图象交点的横坐标； 在同一坐标系中画出函数 y＝2x，y＝log2x，y＝2－x 的图象，如图所示： 由图可知，a 是 y＝2x 和 y＝2－x 图象交点 A 的横坐标，b 是 y＝log2x 和 y＝2－x 图象交点 B 的横坐标， 因为 y＝2x 与 y＝log2x 互为反函数，所以图象关于直线 y＝x 对称，故点 A，B 也关于直线 y＝x 对称， 所以点 A，B 为 A(a，b)，B(b，a)，而点 A，B 又在 y＝2－x 上，所以 b＝2－a，a＝2－b， 即 a＋b＝2， 故答案为：2. 答案： 2 4．4 幂函数 ( ＝ )[课标解读]1.了解幂函数的概念.2.理解五个具体幂函数(y＝x，y 1 x x3)的图象与性质． ，y＝x2，y＝ x，y＝ 知识点一 幂函数的概念 1. 幂函数的概念 一般地，函数 y＝xα称为幂函数，其中α为常数． 2. 幂函数的特征(1)xα的系数为 1； (2) xα的底数是自变量 x，指数为常数α； (3) 项数只有一项． 符合以上三个特征的函数才是幂函数． 知识点二 常见幂函数的图象与性质1．五个具体幂函数的图象 画函数图象的步骤：列表、描点、连线．幂函数的图象也可以按照此步骤画出，下面我 们在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，如图所示． ①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝x1；⑤y＝x－1. 2 2．五个具体幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 1 y＝x2 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0， ＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0， ＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R 上为增函数 在[0，＋∞) 上是增函数； 在(－∞，0] 上是减函数 在 R 上为增函数 在[0，＋∞) 上是增函数 在(0，＋∞) 上是减函数； 在(－∞，0) 上是减函数 图象过定点 (0，0)，(1，1) (0，0)，(1，1) (0，0)，(1， 1) (0，0)，(1，1) (1，1) 知识剖析 (1) 除函数 y＝x 1外，其余四个函数都具有奇偶性； 2 (2) 在第一象限内，函数 y＝x－1 的图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近，我们称 x 轴和 y 轴为该函数图象的渐近线． 学生用书 第 26 页 1．下列结论正确的是( ) A．幂函数图象一定过原点 B. 当α<0 时，幂函数 y＝xα是减函数 C. 当α>1 时，幂函数 y＝xα是增函数 D. 函数 y＝x2 既是二次函数，也是幂函数 D [函数 y＝x－1 的图象不过原点，故 A 不正确；y＝x－1 在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故 B 不正确；函数 y＝x2 在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故 C 不正 确．] 3 2．幂函数 f(x)的图象过点(3， 9)，则 f(8)＝( ) A．8 B．6 C．4 D．2 C [设幂函数 f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图象过点(3，3 9)，可得3 9＝3α，∴α＝2， 3 2 2 则幂函数 f(x)＝x3，∴f(8)＝83＝4.] 2 3. 幂函数 f(x)＝x 3的大致图象为( ) 2 B [由于 f(0)＝0，所以排除 C、D 选项．而 f(－x)＝(－x)3＝ 3 3 （－x）2＝ 2 x2＝x3＝f(x)， 且 f(x)的定义域为 R，所以 f(x)是偶函数，图象关于 y 轴对称．故选 B．] 4. 已知幂函数 f(x)＝(m2－m－1)xm－1 在(0，＋∞)上单调递减，则 m 的值为( ) A．－1 B．2 C．－1 或 2 D．－2 A [由函数为幂函数得 m2－m－1＝1，即 m2－m－2＝0，解得 m＝－1 或 m＝2.当 m＝ －1 时，f(x)＝x－2，符合题意．当 m＝2 时，f(x)＝x，不合题意．综上 m＝－1.] －1，1，1，3 5. ． 设α∈ ． 2 ， 则使函数 y ＝ xα的定义域为 R 且为奇函数的所有α 值为 解析： 当α＝1，3 时，函数 y＝xα的定义域为 R，且为奇函数； ( ＝ )当α＝－1 时，y 1 x 的定义域是 {x|x∈R 且 x≠0}； 1 当α＝ 时， 2 y＝x1＝ x的定义域是{x|x≥0}． 2 答案： 1，3 ( 1 2 )题型一 幂函数的概念 (1)下列函数：①y＝x3；②y＝ ⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为( ) x ；③y＝4x2；④y＝x