第四章 4．2.3　第2课时　对数函数的性质与图象应用（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教B版2019）

学生用书 第 20 页 第 2 课时 对数函数的性质与图象应用 题型一 比较大小 比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 2，ln 0.9； (2)loga5.1，loga5.9(a>0，a≠1)； (3)log67，log76； (4)log3π，log20.8 [思路点拨] 解析： (1)函数 y＝ln x 的底数为常数 e(e>1)， 所以该函数在(0，＋∞)上是增函数， 又 2>0.9，所以 ln 2>ln 0.9. (2)当 0<a<1 时，y＝logax 在(0，＋∞)上是减函数， 因为 5.1<5.9，所以 loga5.1>loga5.9. 当 a>1 时，y＝logax 在(0，＋∞)上是增函数， 因为 5.1<5.9，所以 loga5.1<loga5.9. 综上，当 0<a<1 时，loga5.1>loga5.9；当 a>1 时，loga5.1<loga5.9. (3)因为 log67>log66＝1，log76<log77＝1， 所以 log67>log76. (4)因为 log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0， 所以 log3π>log20.8. 方法技巧 比较对数值大小时常用的三种方法 即时练 1.(1)设 a＝log2π，b＝log π，c＝π－2，则( ) 1 2 A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a (2)比较下列各组值的大小： ①log 0.5，log 0.6.②log1.51.6，log1.51.4. 2 2 ③log30.57，log03.67.④log3π，log20.8. 解析： (1)a＝log2π>1，b＝log π<0，c＝π－2∈(0，1)，所以 a>c>b. 1 (2)①因为函数 y＝log x 是减函数2 ，且 0.5<0.6， 2 所以 log 0.5>log 0.6. 3 2 2 ②因为函3 数 y＝l3og1.5x 是增函数，且 1.6>1.4， 所以 log1.51.6>log1.51.4. ③因为 0>log70.6>log70.5， ( 所以 ) 1 1 < ， log70.6 log70.5 即 log0.67<log0.57. ④因为 log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以 log3π>log20.8. 答案： (1)C 题型二 解对数不等式 (1)满足不等式 log3x<1 的 x 的取值集合为 ； (2)根据下列各式，确定实数 a 的取值范围： ①log1.5(2a)>log1.5(a－1)； ②log0.5(a＋1)>log0.5(3－a)． [思路点拨] (1)利用函数 y＝log3x 的单调性求解． (2)利用单调性解不等式． 解析： (1)因为 log3x<1＝log33，所以 x 满足的条件为即 0<x<3.所以 x 的取值集合为{x|0<x<3}． (2)①函数 y＝log1.5x 在(0，＋∞)上是增函数． 2a>a－1， x>0， log3x<log33， 因为 log1.5(2a)>log1.5(a－1)，所以 a－1>0， 解得 a>1， 即实数 a 的取值范围是(1，＋∞)． ②函数 y＝log0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，因为 log0.5(a＋1)>log0.5(3－a)， a＋1>0， 所以 3－a>0， 解得－1<a<1.即实数 a 的取值范围是(－1，1)． a＋1<3－a， 答案： (1){x|0<x<3} 方法技巧 两类对数不等式的解法 (1) 形如 logaf(x)<logag(x)的不等式． ①当 0<a<1 时，可转化为 f(x)>g(x)>0； ②当 a>1 时，可转化为 0<f(x)<g(x)． (2) 形如 logaf(x)<b 的不等式可变形为 logaf(x)<b＝logaab. ①当 0<a<1 时，可转化为 f(x)>ab； ②当 a>1 时，可转化为 0<f(x)<ab. 即时练 2.(1)已知 log0.72x<log0.7(x－1)，则 x 的取值范围为 ； (2)已知 loga(x－1)≥loga(3－x)(a>0，且 a≠1)，求 x 的取值范围． 解析： (1)∵函数 y＝log0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， 2x>0， ∴由 log0.72x<log0.7(x－1)得 x－1>0， 2x>x－1， 解得 x>1，即 x 的取值范围是(1，＋∞)． (2)loga(x－1)≥loga(3－x)， x－1>0， 当 a>1 时，有 3－x>0， 解得 2≤x<3. x－1≥3－x， x－1>0， 当 0<a<1 时，有 3－x>0， 解得 1<x≤2. 综上可得， x