第四章 4．2.3　第1课时　对数函数的概念、定义域和值域（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教B版2019）

1 1 lg x 对于 D，lg xn＝ n lg x＝ ，故 D 正确． n 故选：BCD．] 12. 已知 a>b>1，若 logab＋logba＝5，ab＝ba，则 a＝ ，b＝ ． 2 解析： 令 logab＝t，∵a>b>1，∴0<t<1，由 logab＋logba＝5，得 t＋1＝5，解得 t＝1或 2 t 2 2 1 b a a a a a a 2(舍去)．即 logab＝ 2 ，∴b＝ a，又 a ＝b ，∴a ＝( a) ，即 a ＝a2，即 a＝ 2 .解得 a＝4， ∴b＝2. 答案： 4 2 13. 衣柜里的樟脑丸因挥发而体积不断减少，当衣柜里的若干颗樟脑丸因挥发后剩余的 总体积少于 1 颗新丸的体积时，将失去所期待的防虫防蛀效果．如果樟脑丸放置的时间 T(天 数)和剩余的体积 V 的关系式为 T＝C lnV0(其中常数 C>0，V0 是 1 颗新丸的体积)，1 颗新丸放 V 置 30 天后，剩余的体积变为原来的3，且樟脑丸之间互不影响，那么要使衣柜能保持 120 天 4 期待中的防虫防蛀效果，则应该在衣柜里一次性放置至少 颗樟脑丸． 解析： 由题意得 V＝3V0， 4 V0 所以 C ln3 V0 4 ＝30，解得：C＝ 30 ln4. 3 要使衣柜能保持 120 天期待中的防虫防蛀效果，因为当衣柜里的若干颗樟脑丸因挥发后剩余的总体积少于 1 颗新丸的体积时，将失去所期待的防虫防蛀效果．所以可设放置 n 颗樟脑丸，最终剩余的体积为 V0. 于是 C lnnV0＝120，即30 ×ln n＝120， ln n＝4ln V0 4，所以 n＝ 3 4 ln 3 ( 4 3 )4 ≈3.2. 故应该在衣柜里一次性放置至少 4 颗樟脑丸． 答案： 4 学生用书 第 17 页 4．2.3 对数函数的性质与图象 [课标解读]1.了解对数函数的概念.2.掌握对数函数的图象.3.理解对数函数的性质． 知识点一 对数函数的概念 1．对数函数的概念 一般地，函数 y＝logax 称为对数函数，其中 a 是常数，a>0 且 a≠1. 2．判断一个函数是否为对数函数的依据 (1)形如 y＝logax；(2)底数 a 满足 a>0，a≠1；(3)真数为 x，而不是 x 的函数；(4)定义域为(0，＋∞)． 如 y＝log2x2，y＝log5(x＋5)，y＝log5 x都不是对数函数，可称其为对数型函数． 5 知识剖析 (1) 由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量 x 恰好是指数函数的函数值 y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)． (2) 结合上一节知识可知以 10 为底的对数函数 y＝lg x 叫做常用对数函数，以 e 为底的对数函数 y＝ln x 叫做自然对数函数． 知识点二 对数函数的图象和性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 图象过定点(1，0)，即当 x＝1 时，y＝0. 增函数 减函数 非奇非偶函数 知识剖析 (1) 讨论对数函数的性质时，若底数 a 的大小不确定，必须分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论． 1，－1 (2)根据对数函数的性质可知，对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的图象都过点 a 0) ，(a，1)，且图象都在 y 轴右侧，据此可以快速画出对数函数 y＝logax 的草图． ，(1， (3)在对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)中，①若 0<a<1 且 0<x<1，或 a>1 且 x>1，则有 y>0； ②若 0<a<1 且 x>1，或 a>1 且 0<x<1，则有 y<0.以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负．有了这个规律，我们判断对数值的正负就很简单了． 1. 下列函数是对数函数的是( ) A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a>0， 且 a≠1) C．y＝logax2(a>0， 且 a≠1) D．y＝ln x D [判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B， C 全错，D 正确．] 2. 函数 y＝ xln(1－x)的定义域为( ) A．(0，1) B．[0，1) C．(0，1] D．[0，1] x≥0， B [由题意，得 1－x>0， 解得 0≤x<1，故函数 y＝ xln(1－x)的定义域为[0，1)．] 3. 函数 y＝loga(x－1)(0<a<1)的图象大致是( ) A [∵0<a<1，∴y＝logax 在(0，＋∞)上单调递减，故 A，B 可能正确； 又函数 y＝loga(x－1)的图象是由 y＝logax 的图象向右平移一个单位得到，故 A 正确．] ( 9 5 )学生用书 第 18 页