第四章 4．2.2　对数运算法则（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教B版2019）

A. ln(ln e)＝1 B. eln 1＝1 2 2 C. 若 log4x＝－2，则 x＝1 2 D. 若 3x＝8，则 x＝log38 BD [ln(ln e)＝ln 1＝0，A 错误； eln1＝1，满足对数运算法则，B 正确； 2 2 若 log4x＝－2，则 x＝ 1 ，C 错误； 16 若 3x＝8，则 x＝log38，D 正确． 故选 BD．] 12．(多选)(2021·江苏省南通市期中考试)下列命题是真命题的是( ) A．lg(lg 10)＝0 B．elnπ＝π C．若 e＝ln x，则 x＝e2 D．ln(lg 1)＝0 AB [lg(lg 10)＝lg 1＝0，所以 A 正确； eln π＝π，满足对数的运算法则，所以 B 正确； 若 e＝ln x，则 x＝ee，所以 C 不正确； ln(lg 1)＝ln 0，0 没有对数，所以 D 不正确； 故选：AB．] 13．计算下列各式． (1)2ln e＋lg 1＋3log32 ； (2)3log34－lg 10＋2ln 1 ． 解析： (1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4. (2)原式＝3log34－1＋20 ＝3log34÷31＋1 ＝4＋1＝7. 3 3 答案： (1)4 (2)7 3 4.2.2 对数运算法则 知识点一 对数运算法则 1. 对数的运算法则 如果 a>0，a≠1，M>0，N>0，a∈R，则 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. 即两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数的对数的和．这个性质可推广到若 干个正因数的积： loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni>0，i＝1，2，3，…，k)． 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和． (2)logaMα＝αlogaM(α∈R)． 即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数． 特别地，log n M＝1 ，n>1，n∈N )． a logaM(M>0 ＋ n (3)log M＝log M－log N. a a a N 即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数． 知识剖析 (1) 熟练掌握对数运算法则的逆向应用．逆向应用对数运算法则，可以将几个对数式化为 一个对数式，有利于化简． (2) 对于上面的每一个运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等 式才成立． (3) 要牢记对数的运算法则，一般地： ①loga(M±N)≠logaM±logaN； ②loga(MN)≠logaM·logaN； ③log M≠log M÷log N； a a a N ④logaMα≠(logaM)α. 2. 对数运算法则与指数运算法则的联系 式子 ab＝N logaN＝b 运算法则 am·an＝am＋n loga(MN)＝logaM＋logaN am m－n ＝a an log M＝log M－log N a a a N (am)n＝amn logaMn＝nlogaM 学生用书 第 14 页知识点二 换底公式1．换底公式 一般地，我们有 logab＝logcb，其中 a>0 且 a≠1，b>0，c>0 且 c≠1，这一结果通常被称 logca 为换底公式． 知识剖析 (1) 换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若 M>0，N>0，M＝N，则 logaM ＝logaN. (2) 换底公式的意义在于把对数式的底数改变，把不同底数问题转化为同底数问题，从而 进行化简、计算或证明． (3) 换底公式在实际应用中究竟把底数换成什么，要由具体的已知条件来确定，一般换成 以 10 为底的常用对数． 2．几个常用推论 (1) 推论一：logac·logca＝1，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数． (2) 推论二：logab·logbc·logca＝1. 即 logab·logbc·logca＝1. (3) 推论三：logambn＝ n logab，此公式表示底数变为原来的 m 次方，真数变为原来的 n 次 m 方，所得的对数值等于原来对数值的n 倍． m 1. 下列等式成立的是( ) A．log2(8－4)＝log28－log24 B. ( 2 )log28＝log 8 log24 4 C. log28＝3log22 D．log2(8＋4)＝log28＋log24 C [由对数的运算性质易知 C 正确．] 2. 对于 a>0，且 a≠1，下列说法中正确的是( ) A．若 M＝N，则 logaM＝logaN B. 若 logaM＝logaN，则 M＝N C. 若 logaM2＝logaN2，则 M＝N D. 若 M＝N，则 logaM2＝logaN2 B