第2章 第10讲 函数的最值（课件）-2023高考数学【南方凤凰台】一轮复习导学案（小基础版）全国

第二章 基本初等函数 第1页 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（小基础版） 第二章　基本初等函数 第10讲 函数的最值 第1页 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（小基础版） 第二章　基本初等函数 链教材 · 夯基固本 C 2 8 1 f(x)≤M f(x)≥M f(x0)＝M 最大值和最小值 最大(小)值 研题型 · 融会贯通 A [3，＋∞) {y∈R|y≠3} 2 3 2 Thank you for watching 第1页 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（小基础版） 第二章　基本初等函数 激活思维 1. 函数f(x)＝x2＋2在区间[－1,2]上的最大值和最小值分别为( ) A. 4和2　 B. 4和3 C. 6和2　 D. 6和3 2. 函数f(x)＝eq \f(x,x－1)(x≥2)的最大值为______. 【解析】 因为函数f(x)＝eq \f(x,x－1)＝1＋eq \f(1,x－1)(x≥2)是减函数，所以函数f(x)的最大值为f(2)＝2. 3. 函数y＝eq \f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为____________. 【解析】 因为x>1，所以x－1>0，则y＝eq \f(x2＋2,x－1)＝eq \f(x2－2x＋1＋2x－2＋3,x－1)＝eq \f(x－12＋2x－1＋3,x－1)＝(x－1)＋eq \f(3,x－1)＋2≥2eq \r(3)＋2，当且仅当x－1＝eq \f(3,x－1)，即x＝eq \r(3)＋1时，等号成立． 2eq \r(3)＋2 4. 已知函数f(x)＝x2＋mx在(－∞，－1)上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，那么f(x)在[－2,2]上的最大值为______，最小值为________. 【解析】 由题意知－eq \f(m,2)＝－1，所以m＝2，所以f(x)＝x2＋2x，作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，在[－2,2]上，f(x)min＝f(－1)＝－1，f(x)max＝f(2)＝8. 知识聚焦 1. 函数的最值 前提 函数y＝f(x)的定义域为D 条件 (1) 对于任意x∈D，都有__________； (2) 存在x0∈D，使得f(x0)＝M (3) 对于任意x∈D，都有_________； (4) 存在x0∈D，使得____________ 结论 M为最大值 M为最小值 2. 求函数最值的依据： 我们知道连续函数在闭区间内一定存在最大值和最小值． (1) 当函数为单调函数时，区间两端点处的函数值分别为__________________； (2) 当函数不单调时，函数的极大(小)值与区间端点处的较大(小)值中最大(小)的函数值为函数在给定区间的________________. 分类解析 　　直接利用单调性求最值 　(1) 若函数f(x)＝eq \r(x)－eq \f(1,x2)在[1,4]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值是( ) A. eq \f(31,16)　 B. 2 C. eq \f(9,4)　 D. eq \f(11,4) 【解析】 因为f(x)＝eq \r(x)－eq \f(1,x2)在[1,4]上是增函数，所以M＝f(4)＝2－eq \f(1,16)＝eq \f(31,16)，m＝f(1)＝0，因此M－m＝eq \f(31,16). (2) 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，x≤1，,x＋\f(6,x)－6，x>1，))那么f(x)的最小值是____________. 【解析】 当x≤1时，f(x)min＝0；当x＞1时，f(x)min＝2eq \r(6)－6，当且仅当x＝eq \r(6)时取到最小值．因为2eq \r(6)－6＜0，所以f(x)min＝2eq \r(6)－6. 2eq \r(6)－6 (3) 若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋m，x<e，,x－lnx，x≥e))的值域是[e－1，＋∞)，其中e是自然对数的底数，则实数m的最小值是__________. 【解析】 当x≥e时，(x－ln x)′＝1－eq \f(1,x)>0，此时函数f(x)在[e，＋∞)上单调递增，值域是[e－1，＋∞). 当x<e时，y＝－eq \f(1,2)x＋m是减函数，其值域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(e,2)＋m，＋∞))，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(e,2)＋m，＋∞))⊆[e－1，＋∞)，