第1章 第7讲 含参一元二次不等式及恒成立问题（课件）-2023高考数学【南方凤凰台】一轮复习导学案（小基础版）全国

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 第1页 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（小基础版） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第7讲 含参一元二次不等式及恒成立问题 第1页 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（小基础版） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 链教材 · 夯基固本 (0,1) (－∞，－3] 研题型 · 融会贯通 A B (－∞，1)∪(3，＋∞) Thank you for watching 第1页 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（小基础版） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<x<\f(1,a))))) 激活思维 1. 对任意的实数x，若x2－2ax＋a>0恒成立，则a的取值范围是_________. 2. 若0<a<1，则不等式(a－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0的解集是__________________. 【解析】 原不等式可化为(x－a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0.由0<a<1，得a<eq \f(1,a)，所以a<x<eq \f(1,a). 3. 若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是________________. 【解析】 当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，即a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2])．而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3. 4. 若不等式x2－2x＋k2－2>0对于任意的x∈[2，＋∞)恒成立，则k的取值范围是_________________________. 【解析】 由x2－2x＋k2－2>0，得k2>－x2＋2x＋2.设f(x)＝－x2＋2x＋2＝－(x－1)2＋3，当x≥2时，f(x)max＝2，则k2>f(x)max＝2，所以k>eq \r(2)或k<－eq \r(2). (－∞，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞) 知识聚焦 一、 含参“一元二次不等式”的解题模板 二、 一元二次不等式恒成立的求解策略 1. 判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题．一般地，对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，有 (1) f(x)>0对x∈R恒成立 ⇔ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))) (2) f(x)<0对x∈R恒成立 ⇔ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))) 2. 最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： (1) f(x)>a恒成立 ⇔ a<f(x)min； (2) f(x)<a恒成立 ⇔ a>f(x)max. 3. 分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强．一般地有： (1) f(x)<g(a)(a为参数)恒成立 ⇔ g(a)>f(x)max； (2) f(x)>g(a)(a为参数)恒成立 ⇔ g(a)<f(x)min. 4. 变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化． 分类解析 　　解含参数的一元二次不等式 　(1) 解关于实数x的不等式：x2－(a＋1)x＋a<0. 【解答】由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)·(x－1)＝0，所以x1＝a，x2＝1. ①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0 的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(1<x<a))))； ②当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为∅； ③当a<1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<x<1)))). (2) 解关于实数x的不等式：x2－ax＋1<0. 【解答】当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，不等式的解集为∅. 当Δ＝a2－4>0，即a>2或a<－2时， x2－ax＋1＝0的根为x1＝eq \f(a