第1章 第5讲 基本不等式（课件）-2023高考数学【南方凤凰台】一轮复习导学案（小基础版）全国

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 第1页 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（小基础版） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第5讲 基本不等式 第1页 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（小基础版） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 链教材 · 夯基固本 C C CD 1 a＞0，b＞0 x＝y x＝y 研题型 · 融会贯通 D ACD ABD 4 (－∞，4] C C C Thank you for watching 第1页 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（小基础版） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 激活思维 1. 设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A. 80　 B. 77　 C. 81　 D. 82 【解析】 因为x>0，y>0，所以eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)，即xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，所以(xy)max＝81. 2. 若函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( ) A. 1＋eq \r(2) 　 B. 1＋eq \r(3)　 C. 3　 D. 4 【解析】 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r(x－2×\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)(x>2)，即x＝3时，等号成立，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3. 3. (多选)已知x，y均为正数，且满足eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)＝1，那么x＋3y可能的取值为( ) A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 【解析】 因为eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)＝1，所以x＋3y＝(x＋3y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(3,y)))＝10＋eq \f(3y,x)＋eq \f(3x,y)≥10＋2eq \r(\f(3y,x)×\f(3x,y))＝10＋6＝16. 4. 已知x<eq \f(5,4)，那么f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值为______. 【解析】 因为x<eq \f(5,4)，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立，故f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值为1. 知识聚焦 1. 基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (1) 基本不等式成立的条件：__________________. (2) 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab).基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2. 利用基本不等式求最值问题 若x>0，y>0，则： (1) 如果积xy是定值p，那么当且仅当__________时，x＋y有最小值是________；(简记：积定和最小) (2) 如果和x＋y是定值p，那么当且仅当__________时，xy有最大值是______. (简记：和定积最大) 2eq \r(p) eq \f(p2,4) 3. 几个重要的不等式 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(1 a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2 \f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3 ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4 \f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))当且仅当a＝b时，等号成立． 请同学们尝试自己证明以上结论！ 【解析】 4a＋b＝(4a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq \f(4a,b)＋eq \f(b,a)≥5＋2eq \r(\f(4a,b)·\f(b,a))＝9，当且仅当a＝eq \f(3,2)，b＝3时，等号成立． 分类解析 　　利用基本不等式求最值 　(1) (2021·湘潭二模)已知a>0，b>0，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，那么4a＋b的最小值是( ) A. 2　　 B. 6