第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（Word教参）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1　在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2　理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3　根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)． 知识梳理 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线l的倾斜角α的范围是[0°，180°). 2.斜率公式 (1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝. 3.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. 学霸笔记 谨防三种失误 (1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在. (2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0. (3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0. 进阶诊断 1.判断正误 (1)直线的倾斜角越小，其斜率就越小.(　×　) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　×　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　×　) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　√　) 2.(选择性必修第一册·P102T1(2)改编)设直线l的方程为xsin θ－y＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(　D　) A．[0，π] B． C． D．∪π) 3.如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　C　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.(多选)下列说法正确的是(　ABD　) A．有的直线斜率不存在 B．若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan α C．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为 D．截距可以为负值 5.(选择性必修第一册·P67T4改编)已知△ABC的三个顶点A(8，5)，B(4，－2)，C(－6，3)，则经过两边AB和AC的中点的直线的方程是x＋2y－9＝0. 6.过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0. 　直线的倾斜角与斜率 自主练通 1.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　D　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2. 2.直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是(　D　) A．(－1，) B．(－1，) C．(－∞，－1)∪(，＋∞) D．(－∞，－1)∪(，＋∞) 解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.令－3<1－<3，解不等式得k<－1或k>. 3.直线l经过A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是). 解析：直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1.又y＝tan α在(0，)上是增函数，所以≤α<. 方　法　规　律 1.倾斜角α与斜率k的关系 (1)当α∈时，k∈[0，＋∞)； (2)当α＝时，斜率k不存在； (3)当α∈，π)时，k∈(－∞，0). 2.斜率的两种求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率. (2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝求斜率. 3.倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y＝tan α的单调性. 　求直线方程 自主练通 求适合下列条件的直线方程： (1)求过点A(1，3)，倾斜角是直线y＝－x倾斜角的的直线方程； (2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x倾斜角的2倍