第7章 第5节 空间向量及其运算（Word教参）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

　空间向量及其运算 1　在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置. 2　借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式. 3　经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 4　经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. 5　了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 6　掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示. 知识梳理 1．空间直角坐标系与点的坐标 (1)空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)表示． (2)建立空间直角坐标系，空间中的点M与有序实数组(x，y，z)可以建立一一对应的关系． 2．空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式： ①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝； ②设点P(x，y，z)，则其与坐标原点O之间的距离为|OP|＝． (2)中点公式： 设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则 3．空间向量中的特殊向量 名称 概念 零向量 模为0的向量 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 4.空间向量中的有关定理 语言描述 共线向量定理 对空间中任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向 量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量 基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc 空间向量基本定理的三点注意 (1)空间中任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 5．空间向量的数量积 (1)向量的夹角： ①共起点的向量＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角． ②范围：0≤〈a，b〉≤π. (2)两个非零向量a，b的数量积： a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 6．空间向量的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 学霸笔记 1．证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线： (1)＝λ(λ∈R)； (2)对空间任一点O，＝＋t(t∈R)； (3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)． 2．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共面： (1)＝x＋y； (2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3)∥(或∥或∥)． 进阶诊断 1．判断正误 (1)直线的方向向量是唯一确定的．(　×　) (2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　×　) (3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　×　) (4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(　×　) 2．(选择性必修第一册·P10T5改编)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M.设A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与相等的是(　C　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．a－b＋c D．－a－b＋c 3.(多选)(选择性必修第一册·P15T2改编)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(　ABD　) A．b＋c，b，b－c B．a，a＋b，a－b C．a＋b，a－b，c D．a＋b，a＋b＋c，c 4．(选择性必修第一册·P19T4改编)已知点B是点A(3，4，5)在坐标平面xOz内的射影，则||＝． 5．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝． 6．设μ，ν分别是两个不同平面α，β的法向量，μ＝(－2，2，5)，当ν＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为α⊥β；当ν＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为