第3章 第15讲 第2课时 导数与不等式恒成立(能成立)问题（课件）-2023高考数学【南方凤凰台】一轮复习导学案（提高版）全国

主题二　函数 第三章　导数及其应用 第1页 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 第三章　导数及其应用 第15讲　导数的综合应用 第2课时　导数与不等式恒成立(能成立)问题 第*页 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 第三章　导数及其应用 研题型 · 融会贯通 D A Thank you for watching 第1页 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 第三章　导数及其应用 分类解析 　f(x)<g(x)型 　已知函数f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)，当x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求实数k的取值范围． 【解答】 方法一：(直接法)令x＝0，由f(x)≤kg(x)得2≤2k，故k≥1.设h(x)＝f(x)－kg(x)＝x2＋4x＋2－2kex(x＋1)(x≥－2)．由题意得h(x)max≤0.h′(x)＝2(x＋2)(1－kex)(x≥－2)．令h′(x)＝0，得x＝－2或x＝lneq \f(1,k).因为k≥1，所以lneq \f(1,k)≤0.①若lneq \f(1,k)≤－2，即k≥e2时，h(x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以h(x)max＝h(－2)＝－2＋eq \f(2k,e2)≤0，故k≤e2，结合条件得k＝e2.②若lneq \f(1,k)>－2，即1≤k＜e2，h(x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，ln\f(1,k)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,k)，＋∞))上单调递减，所以h(x)max＝heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,k)))＝ln2k－4lnk＋2－2k·eq \f(1,k)(－lnk＋1)＝ln2k－2lnk≤0，故0≤lnk≤2，解得1≤k≤e2，结合条件得1≤k＜e2.综上，实数k的取值范围是[1，e2]． 方法二：(分离参数法)由已知得不等式x2＋4x＋2≤k·2ex(x＋1)对x≥－2恒成立．①当x＝－1时，k∈R.②当－2≤x＜－1时，k≤eq \f(x2＋4x＋2,2exx＋1)恒成立．设m(x)＝eq \f(x2＋4x＋2,2exx＋1)，则m′(x)＝－eq \f(xx＋22,2exx＋12).当－2≤x＜－1时，m′(x)≥0，m(x)单调递增，所以m(x)min＝m(－2)＝e2，故k≤e2.③当x>－1时，k≥m(x)恒成立．因为m(x)在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以m(x)max＝m(0)＝1，故k≥1.综上，1≤k≤e2，即实数k的取值范围是[1，e2]． 用直接法解决含参不等式恒成立求参数范围问题，时常需要分类讨论，计算量较大．而用分离参数法解决含参不等式恒成立问题时，比较直接，这也是学生首选的方法． 　(2021·北京适应性测试)已知函数f(x)＝sinx－xcosx－eq \f(1,6)x3，若f(x)>kx－xcosx－eq \f(1,6)x3－1对x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))恒成立，求实数k的取值范围． 【解答】 由f(x)>kx－xcosx－eq \f(1,6)x3－1，得sinx>kx－1.因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以k＜eq \f(sinx＋1,x).令t(x)＝eq \f(1＋sinx,x)，则t′(x)＝eq \f(xcosx－sinx－1,x2)，令m(x)＝xcosx－sinx－1，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，m′(x)＝－xsinx＜0恒成立，所以m(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递减，所以当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，m(x)＜m(0)＝－1＜0，所以t′(x)＜0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上恒成立，即t(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递减，所以当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，t(x)>teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq \f(4,π)，所以k≤eq \f(4,π).所以k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co