第3章 第14讲 第2课时 函数的极值与最值（课件）-2023高考数学【南方凤凰台】一轮复习导学案（提高版）全国

主题二　函数 第三章　导数及其应用 第1页 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 第三章　导数及其应用 第14讲　利用导数研究函数的性质 第2课时　函数的极值与最值 第*页 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 第三章　导数及其应用 研题型 · 融会贯通 C A C B A Thank you for watching 第1页 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 第三章　导数及其应用 分类解析 　利用导数研究函数的极值 　已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－eq \f(3,a)(a∈R且a≠0)，求函数f(x)的极大值与极小值． 【解答】 由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3axeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a))).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq \f(2,a). 当a＞0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a))) eq \f(2,a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞)) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值 从上表可知f(x)极大值＝f(0)＝1－eq \f(3,a)，f(x)极小值＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＝－eq \f(4,a2)－eq \f(3,a)＋1. 当a＜0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,a))) eq \f(2,a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，0)) 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  极小值  极大值  从上表可知f(x)极大值＝f(0)＝1－eq \f(3,a)，f(x)极小值＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＝－eq \f(4,a2)－eq \f(3,a)＋1. 综上，f(x)极大值＝1－eq \f(3,a)，f(x)极小值＝－eq \f(4,a2)－eq \f(3,a)＋1. 　已知函数g(x)＝x3－2x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)m＋1))x－2，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值． 【解答】 g(x)＝x3－2x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)m＋1))x－2，则g′(x)＝3x2－4x＋1＋eq \f(1,3)m，令g′(x)＝0，当Δ≤0时，g′(x)≥0恒成立，函数g(x)单调递增，无极值，所以函数有极值时Δ>0，方程3x2－4x＋1＋eq \f(1,3)m＝0有实数根，由Δ＝4(1－m)>0，得m<1. 令g′(x)＝0得，x1＝eq \f(1,3)(2－eq \r(,1－m))，x2＝eq \f(1,3)(2＋eq \r(,1－m))， 当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表： x (－∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x)  极大值 ·  极小值  综上，当m∈(－∞，1)时，函数g(x)有极值，当x＝eq \f(1,3)(2－eq \r(,1－m))时，g(x)取得极大值；当x＝eq \f(1,3)(2＋eq \r(,1－m))时，g(x)取得极小值． 　利用极值点数量求参数 　已知函数f(x)＝xlnx＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是___________. 【解析】 因为f(x)＝xlnx＋mex，所以f′(x)＝lnx＋1＋mex，由函数f(x)有两个极值点可得y＝－m和g(x)＝eq \f(lnx＋1,ex)在(0，＋∞)上有两个交点，g′(x)＝eq \f(\f(1,x)－lnx－1,ex).令h(x)＝eq \f(1,x)－lnx－1，则h′(x)＝－eq \f(1,x2)－eq \f(1,x)<0(x>0)，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，且h(1)＝0，所以当x∈(0,1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0,1]上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1