选修4－5 第2节 不等式的证明（教师word）-2023老教材老高考数学（文）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第二节　不等式的证明 高考要求 考向规律 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法. 1．主要考查用比较法、综合法、分析法证明不等式． 2．考查题型：解答题. [对应学生用书P277] 知识点　不等式的证明方法 1．基本不等式 (1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥__2ab__，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当__a＝b__时，等号成立，即两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)他们的几何平均数． (3)定理3：如果a，b，c>0，那么≥　　，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 2．比较法 (1)作差法的依据是：a－b>0⇔__a>b__ . (2)作商法：若B>0，欲证A≥B，只需证　≥1.　 3．综合法与分析法 (1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的__推理、论证__而得出命题成立． (2)分析法：从__要证的结论__出发，逐步寻求使它成立的__充分__条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．(　　) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．(　　) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．(教材改编)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为____________ . 解析　2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因为a≥b>0， 所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b，故M≥N. 答案　M≥N 3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝2，则＋的最小值为__________ . 解析　∵a，b∈R＋，且a＋b＝2，∴(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，∴＋≥＝2，即＋的最小值为2(当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立)． 答案　2 4．求证：＋＜2＋. 证明　＋＜2＋⇐(＋)2＜(2＋)2⇐10＋2＜10＋4⇐＜2⇐21＜24.故原不等式成立． [对应学生用书P278] 考点一　比较法证明不等式(师生共研) [例1]　已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集． (1)求M； (2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|. [解析]　(1)f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)<2，得－2x<2，解得x>－1； 当－<x<时，f(x)<2恒成立； 当x≥时，由f(x)<2，得2x<2，解得x<1. 所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}． (2)证明　由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1， 从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1 ＝(a2－1)(1－b2)<0. 因此|a＋b|<|1＋ab|. [方法策略] 1．作差比较法 (1)作差比较法证明不等式的四步骤 (2)作差比较法的应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法． 2．作商比较法 (1)作商比较法证明不等式的一般步骤 (2)作商比较法的应用范围：当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法． [跟踪训练] 考点二　综合法证明不等式(师生共研) [例2]　已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明： (1)＋＋≤a2＋b2＋c2； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. [证明]　(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1， 故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋. 当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立， 所以＋＋≤a2＋b2＋c2. (2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2)×(2)×(2)＝24. 当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立． 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. [方法策略] 综合法证明不等式的方法 (1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键． (2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的，在运用这些性质时