第11章 第6节 概率与统计中的数据分析与数学建模（教师word）-2023老教材老高考数学（文）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第六节　概率与统计中的数据分析与数学建模 [对应学生用书P260] 考点一　频率分布直方图或条形图中的运算问题(师生共研) [例1]　某市为了获悉该市高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生的问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图． (1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率； (2)已知样本中分数低于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的学生人数； (3)学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中分数低于40的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数低于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男、女同学各1人的概率． [解析]　(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不低于60的频率为(0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.8， 故从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率为0.8. (2)根据题意，样本中分数不低于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5. 所以估计总体中分数在区间[40,50)内的人数为500×＝25. (3)设3名男生分别为a1，a2，a3,2名女生分别为b1，b2，则从这5名学生中抽取2人的所有结果为 (a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a2，a3)，(b1，b2)，共10种． 其中2人中男、女同学各1人包含的结果有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6种． 设事件A表示“抽取的2人中男、女同学各1人”，则P(A)＝＝，所以抽取的2人中男、女同学各1人的概率是. [方法策略] 统计与概率“搭台”，方案选择“唱戏” 破解此类频率分布直方图、分层抽样与概率相交汇的开放性问题的关键：一是会观图读数据，能从频率分布直方图中读出频率，进而求出频数；二是能根据分层抽样的抽样比或各层之间的比例，求出分层抽样中各层需抽取的个数；三是会转化，会对开放性问题进行转化． [跟踪训练] 某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器为三级过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中每更换3个一级滤芯就需要更换1个二级滤芯，三级滤芯无需更换，其中一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为M.如图是根据100台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图． (1)结合柱状图，写出集合M； (2)根据以上信息，求一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元的概率(以100台净水器更换二级滤芯的频率代替1台净水器更换二级滤芯发生的概率)； (3)若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受5折优惠(使用过程中如需再购买无优惠)．假设上述100台净水器在购机的同时，每台均购买a个一级滤芯、b个二级滤芯作为备用滤芯(其中b∈M，a＋b＝14)，计算这100台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数，并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为14，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？ 解析　(1)由题意可知，当一级滤芯更换9,10,11个时，二级滤芯需要更换3个，当一级滤芯更换12个时，二级滤芯需要更换4个，所以M＝{3,4}． (2)由题意可知，二级滤芯更换3个，需1200元，二级滤芯更换4个，需1600元，在100台净水器中，二级滤芯需要更换3个的净水器共70台，二级滤芯需要更换4个的净水器共30台，设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元”为事件A，则P(A)＝＝0.3. (3)a＋b＝14，b∈M， ①若a＝10，b＝4，则这100台净水器更换滤芯所需费用的平均数为 ＝2000. ②若a＝11，b＝3，则这100台净水器更换滤芯所需费用的平均数为 ＝1880. 所以如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为14，客户应该购买一级滤芯11个，二级滤芯3个． 考点二　茎叶图中数据提取、处理及运算(师生共研) [例2]　(2022·武昌调研)为了增强消防意识，某部门从男、女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试(满分为100分)，这40名职工测试成绩的茎叶图如图所示： (1)根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职