第11章 第4节 用样本估计总体（教师word）-2023老教材老高考数学（文）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第四节　用样本估计总体 高考要求 考向规律 1．了解频率分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图，理解它们各自的特点． 2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差． 3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释． 4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想. 1．高考中主要考查平均数、方差的计算以及茎叶图与频率分布直方图的简单应用，且常与概率问题相结合． 2．考查题型：选择题、填空题、解答题. [对应学生用书P248] 知识点一　统计图表 1．频率分布表的画法 第一步：求__极差__，决定组数和组距，组距＝　　； 第二步：__分组__，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 2．频率分布直方图(反映样本频率分布的直方图) 横轴表示样本数据，纵轴表示　　，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的__频率__． 3．茎叶图 统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指__中间__的一列数，叶是从__茎__的旁边生长出来的数． 知识点二　样本的数字特征 1．众数：一组数据中__出现次数最多__的那个数据，叫做这组数据的众数． 2．中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于__最中间__位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． 3．平均数：把　　称为a1，a2，…，an这n个数的平均数． 4．标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是s＝，s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 1．频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2. ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2. 1．(教材改编)一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 解析　设频数为n，则＝0.25，∴n＝32×＝8. 答案　B 2．(教材改编)甲、乙两名同学在高三的6次测试的成绩统计如图，甲、乙两组数据的平均数分别为甲，乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则(　　) A.甲<乙，σ甲<σ乙 B.甲<乙，σ甲>σ乙 C.甲>乙，σ甲<σ乙 D.甲>乙，σ甲>σ乙 解析　由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知甲>乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σ甲<σ乙． 答案　C 3．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量在[2,2.5)范围内的居民有____________人． 解析　由频率分布直方图可知，月均用水量为[2,2.5)范围内的居民所占频率为0.5×0.5＝0.25，所以月均用水量在[2,2.5)范围内的居民人数为100×0.25＝25(人)． 答案　25 4．(易错)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是____________ . 解析　5个数的平均数＝＝5.1，所以它们的方差s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1. 答案　0.1 5．(活用结论)若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差为____________ . 解析　因为x1，x2，x3，…，xn的方差为2，所以3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18. 答案　18 [对应学生用书P250] 考点一　频率分布直方图(师生共研) [例1]　为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图： 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图