第3章 微专题 高考增分策略5 两曲线的公切线（教师word）-2023老教材老高考数学（文）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P60] 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法． [例1]　已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝____________． [解析]　法一　因为y＝x＋ln x，所以y′＝1＋，y′|x＝1＝2. 所以曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切， 所以a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行). 由消去y，得ax2＋ax＋2＝0. 由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 法二　同法一得切线方程为y＝2x－1. 设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1).因为y′＝2ax＋(a＋2)， 所以y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2). 由，解得 [答案]　8 [例2]　已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为____________． [解析]　设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)， 同理设l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)， ∴y2＝ln x2＋2， g′(x)＝， ∴g′(x2)＝， 切点为(x2，ln x2＋2)， 切线斜率k＝， ∴切线方程为y－(ln x2＋2)＝(x－x2)， 即y＝·x＋ln x2＋1，　　　　　　　　　　　　② 由题意知，①与②相同， 解得x1＝1或x1＝0， 当x1＝1时，切线方程为y＝ex； 当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1， 综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1. [答案]　y＝ex或y＝x＋1 [对应学生用书P307] 保分练 1．(2021·沈阳模拟)曲线f(x)＝2ex sin x在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A．y＝0 B．y＝2x C．y＝x D．y＝－2x 解析　∵f(x)＝2ex sin x，∴f(0)＝0，f′(x)＝2ex(sin x＋cos x)，∴f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x. 答案　B 2.已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，设a＝f(3)－f(2)，则下列结论正确的是(　　) A．f′(2)<f′(3)<a B．f′(2)<a<f′(3) C．f′(3)<a<f′(2) D．a<f′(3)<f′(2) 解析　a＝f(3)－f(2)＝， ∴a表示曲线上两点A(2，f(2))，B(3，f(3))连线的斜率， 由图知，曲线切线的斜率越来越小， ∴f′(3)<a<f′(2). 答案　C 3．已知函数f(x)＝x2＋cos x，则其导函数f′(x)的图象大致是(　　) 解析　f′(x)＝x－sin x， ∴f′(x)为奇函数，排除B，D， 又f′＝－sin ＝－<0， 故选A. 答案　A 4．(2021·东莞检测)已知直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝ln x相切，则k等于(　　) A． B． C．e D．e2 解析　由f(x)＝ln x，得f′(x)＝，设切点为(x0，ln x0)，则解得x0＝e2，则k＝＝. 答案　A 5．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为(　　) A．∪ B． C．∪ D． 解析　y′＝3x2－， ∴y′≥－， ∴tan α≥－， 又α∈[0，π)， 故α∈∪. 答案　C 6．已知函数y＝f(x)的图象在x＝2处的切线方程是y＝3x＋1，则f(2)＋f′(2)＝____________． 解析　切点坐标为(2，f(2))， ∵切点在切线上， ∴f(2)＝3×2＋1＝7， 又k＝f′(2)＝3， ∴f(2)＋f′(2)＝10. 答案　10 7．已知函数f(x)＝＋ex cos x，若f′(0)＝－1，则a＝____________ . 解析　f′(x)＝＋ex cos x－ex sin x ＝＋ex cos x－ex sin x， ∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2. 答案　2 8．(2021·宜昌模拟)若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为____________． 解析　∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5. 又P(－2，6＋c)，∴＝－5.∴c＝4. 答案　4 9．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R). (1)若函数f(x)的图象过