专题09 最值模型-将军饮马-2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题09 最值模型---将军饮马 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。 模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： 【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。 例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______． 【答案】 【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小， 菱形的边长为2，，中， PQ+QC的最小值为故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键． 例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________． 【答案】6 【分析】作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；然后求出和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度； ∵AC是矩形的对角线，∴AB=CD=4，∠ABC=90°， 在直角△ABC中，，，∴，∴， 由对称的性质，得，，∴，∴ ∵，，∴△BEF是等边三角形， ∴，∴是直角三角形， ∴，∴的最小值为6；故答案为：6． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得有最小值． 例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为________． 【答案】 【分析】过点M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：作点P关于CE的对称点P′， 由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，∴点P′在CD上， 过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G， ∵MN+NP=MN+NP′≤MF，∴MN+NP的最小值为MF的长，    连接DG，DM，由折叠的性质知CE为线段 DM的垂直平分线， ∵AD=CD=2，DE=1，∴CE==， ∵CE×DO=CD×DE，   ∴DO=，∴EO=， ∵MF⊥CD，∠EDC=90°，∴DE∥MF，∴∠EDO=∠GMO，    ∵CE为线段DM的垂直平分线，∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°， ∴△DOE≌△MOG，∴DE=GM，∴四边形DEMG为平行四边形，    ∵∠MOG=90°，∴四边形DEMG为菱形，∴EG=2OE=，GM= DE=1，∴CG=， ∵DE∥MF，即DE∥GF，∴△CFG∽△CDE， ∴，即，   ∴FG=，∴MF=1+=， ∴MN+NP的最小值为．故答案为：． 【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键． 例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】 古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，连接，则的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线上另取任