专题05 导数的几何意义与导数的应用（讲+练）-【题型方法解密】2023年高考数学二轮常考点+重难点复习攻略（新高考地区专用）

专题05 导数的几何意义与导数的应用 目录 一 常规题型方法 1 题型一 导数的几何意义 1 题型二 利用导数研究函数的单调性 7 题型三 利用导数研究函数的极值 11 题型四 利用导数研究函数的最值 16 题型五 含参的单调性讨论 19 二 针对性巩固练习 30 练习一 导数的几何意义 30 练习二 利用导数研究函数的单调性 33 练习三 利用导数研究函数的极值 34 练习四 利用导数研究函数的最值 36 练习五 含参的单调性讨论 38 常规题型方法 题型一 导数的几何意义 【典例分析】 典例1-1．（2020·河南·高三阶段练习（文））已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，代入则得到斜率，再得到点斜式方程即可求解 【详解】由可得， 所以，， 故曲线在处的切线方程为即， 故选：A 典例1-2．（2022·河南南阳·高三期中（理））若函数在点处的切线方程为，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，即可求出、，从而求出切线方程，即可得到方程，解得即可. 【详解】解：因为，所以， 又，所以， 所以切线方程为，即， 所以，解得； 故选：B 典例1-3．（2022·云南·昆明市第三中学高三阶段练习）过点有条直线与函数的图象相切，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点为，写出切线方程，分析可知关于的方程有三个不等的实根，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】设切点为，因为，则， 所以，曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程可得，则， 构造函数，其中，则， 列表如下： 减 极小值 增 极大值 减 所以，函数的极小值为，极大值为， 且当时，， 由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 因此，. 故选：B. 典例1-4．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将a由切点坐标表示，进而将a转化为关于的函数，通过求导求其最大值. 【详解】由题意得，，． 设公切线与的图象切于点， 与的图象切于点， ∴， ∴，∴， ∴，∴． 设，则， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴， ∴实数a的最大值为， 故选：A． 典例1-5．（2021·重庆合川·高二阶段练习）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线距离的最小值为（ ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用导数几何意义求出曲线上与平行的切线方程，两线距离即为曲线上点与直线的最小距离，利用平行线距离公式求值即可. 【详解】由题设且，令，可得（舍）或， 所以，则曲线上切线斜率为1的切点为， 故对应切线为，其与的距离，即为P到直线距离的最小值， 所以最小值为. 故选：B 【方法技巧总结】 1. 类型：“在”一点处的切线方程、“过”一点处的切线方程。 2. 技巧：求切线方程先观察题干中是否有切点，如果没有切点需自己设切点；处理完切点后需遵循求切线的三步骤，第一步：求导，第二步：切点横坐标带入导数中去求出切线斜率，第三步：利用点斜式求出切线方程。如果未知切点，可利用求出的切线方程结合题干条件列方程求出切点坐标。 【变式训练】 1．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知， 则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，先计算出，进而计算出，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：，所以， 所以， 所以， 所以，曲线在点处的切线方程为：，即. 故选：A 2．（2022·重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线垂直斜率的关系，可求出切线斜率，然后求导，根据导数的几何意义用含的式子表示出斜率，列方程求解即可. 【详解】由题意得，切线和垂直，切线斜率显然存在，设为，根据直线垂直的斜率关系可得，，那么切线斜率，由导数的几何意义：，而，，解得. 故选：D 3．（2022·河南河南·模拟预测（理））已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（