数列专题：数列求和的6种常用方法-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

数列专题：数列求和的6种常用方法 一、几种数列求和的常用方法 1、分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 2、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 3、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 4、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 二、公式法求和常用公式 公式法主要适用于等差数列与等比数列. 1、等差数列的前n项和 2、等比数列的前n项和 3、一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 三、裂项相消法中常见的裂项技巧 1、等差型裂项 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 2、根式型裂项 （1） （2） （3） （4） 3、指数型裂项 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 4、对数型裂项 四、错位相减法求和步骤 形如， 其中为等差数列，首项为，公差为；为等比数列，首项为，公比为. 对数列进行求和，首先列出，记为①式； 再把①式中所有项同乘等比数列的公比，即得，记为②式； 然后①②两式错开一位作差，从而得到的前项和。 注：等差数列的通项常见形式为 (其中A、B为常数)， 等比数列通项常见的形式为 (其中A、m为常数) 题型一 公式法求和 【例1】设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝35，且a1，a4－1，a7成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an，求数列{bn}的前2n项的和T2n． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）设数列{an}的公差为d(d≥0)，则=35，即=5， 所以，． 因为，，成等比数列，所以， 即42=(5-3d)(5+3d)，解得d=-1(舍去)或d=1， 所以 （2）因为， 所以 【变式1-1】已知等差数列满足a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和Sn． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为d， 则∴，∴． （2），∴， ∵，又， ∴数列为等比数列，且首项为2，公比为4， ∴． 【变式1-2】已知数列中，，且满足．设，. （1）求数列的通项公式的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求. 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）∵，，∴. ∵，∴， 又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，. （2）∵， ∴ ， ∴， ∴，∴. 【变式1-3】已知是等比数列，，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和．（含分组法） 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），，，， ，. （2）， . 题型二 裂项相消法求和 【例2】已知数列的通项公式为，若前项和为9，则项数为（ ） A．99 B．100 C．101 D．102 【答案】A 【解析】假设数列的前项和为， 因为， 则数列的前项和为， 当前项和为9，故，解得，故选：A 【变式2-1】等比数列的前n项和，数列满足． （1）求a的值及的通项公式． （2）求数列的前n项和． （3）求数列的最小项的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）. 【解析】（1）∵， ∴， 当时，， ∴， ∵数列是等比数列， ∴，解得， ∴； （2）因为， 所以， 设数列的前n项和为， ， ∴数列的前n项和为； （3）∵，， ∴， 则 ， ∴数列为单调递增数列， ∴数列的最小项的值为． 【变式2-2】等差数列的前n项和满足，数列，，，…，的前5项和为9. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前n项和为，，求证. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）∵数列，，，…，的前5项和为9， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴. （2）∵， ∴ . 【变式2-3】设是正项等比数列的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）设的公比为，显然，， 由题意，解得（负数舍去）． 所以； （2）由（1）， 所以． 【变式2-4】已知等差数列为递增数列，， （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值． 【答案】（1）；（2）最大值为、最小值为 【解析】（1）设等差数列首项为公差为d， 则，解之得或（舍） 则等差数列的通项公式为 （