第13课 二次函数压轴题-最值问题（重难点）-2022-2023学年九年级数学下册课后培优分级练（北师大版）

第13课 二次函数压轴题-最值问题 一、解答题 1．已知抛物线，其顶点为，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线：与抛物线第一象限交于点，交轴于点，求的值； （3）若有两个定点，，请在抛物线上找一点，使得的周长最小，并求出周长的最小值． 2．已知抛物线（a，b为常数，）与x轴交于点，顶点为D，且过点． (1)求抛物线解析式和点C，D的坐标； (2)点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值； ②连接BD，当时，求点P的坐标． 3．已知：如图，是等腰直角三角形，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，P的速度是，Q的速度是，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为，解答下列问题： （1）当t为何值时，是直角三角形？ （2）问：是否存在某一时刻t，使四边形的面积与面积差最小？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由； （3）设的长为，试确定y与t之间的关系式；写出当t分别为何值时，达到最短和最长，并写出的最小值和最大值． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，交双曲线于点抛物线过点B，且与该双曲线交于点D，点D的纵坐标为． （1）求双曲线与抛物线的解析式． （2）若点P为该抛物线上一点，点Q为该双曲线上一点，且P，Q两点的纵坐标都为，求线段的长． （3）若点M沿直线从点A运动到点C，再沿双曲线从点C运动到点D．过点M作轴，交抛物线于点N．设线段的长度为d，点M的横坐标为m，直接写出d的最大值，以及d随m的增大而减小时m的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，O为原点，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，点B关于原点的对称点为点C． (1)过A，B，C三点的抛物线的解析式为_______； (2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q． ①当四边形为菱形时，求点P的坐标； ②若点P的横坐标为，当t为何值时，四边形面积最大，并说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，．抛物线过点O，A，B． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线于点E，交抛物线于点F，以为一边，在的右侧作矩形． ①若，求矩形面积的最大值； ②若，矩形与等腰重叠部分为轴对称图形，求m的取值范围． 7．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值． 8．如图，抛物线(t＞0)与x轴的交点为B，A(点B在左边)，过线段OA的中点M作MPx轴，交直线(x＞0)于点P. (1)当t＝3时，直线MP于抛物线对称轴之间的距离为______；当直线MP于抛物线对称轴距离为3时，t＝______. (2)把抛物线在直线MP左侧部分的图像(含与直线MP的交点)记为，用t表示最高点的坐标. (3)在(2)的条件下，当t＞4时，图像的最高点与P之间的距离何时有最大值，并求出最大值. 9．如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（8，0）、C（0，4）三点，顶点为D，连结AC，BC． （1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； （2）判断三角形ABC的形状，并说明理由； （3）如图2，点P是该抛物线在第一象限内上的一点． ①过点P作y轴的平行线交BC于点E，若CP=CE，求点P的坐标； ②连结AP交BC于点F，求的最大值． 10．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直角梯形AOCD的顶点A的坐标为（0，），点D的坐标为（1，），点C在x轴的正半轴上，过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C，点P为CD的中点． （1）求抛物线的解析式及点P的坐标； （2） 在y轴右侧的抛物线上是否存在点Q，使以Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切．若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点M为线段OP上一动点（不与O点重合），过点O、M、D的圆与y轴的正半轴交于点N．求证：OM+ON为定值． （4）在y轴上找一点H，使∠PHD最大．试求出点H的坐标． 11．已知：如图1，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． （1）①如图2，求出抛物线的“完美三角形”斜边的长； ②抛物线与的完美三角形的斜边长的