专项29 反比例图像综合应用（八大类型）-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（人教版）

专项29 反比例图像综合应用（八大类型） 【 类型一 反比例函数中线段最值问题】 【类型二 反比例函数中等腰三角形的存在性】 【类型三 反比例函数中直角三角形的存在性】 【类型四 反比例函数中平行四边形的存在性】 【 类型五 反比例函数中矩形的存在性】 【类型六 反比例函数中菱形的存在性】 【类型七 反比例函数中等腰三角形的存在性】 【类型八 反比例函数中相似三角形的存在性】 【类型一 反比例函数中线段最值问题】 1．（2021•潮阳区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G． （1）填空：k的值等于 　 　． （2）连接FG，判断△COF与△BFG是否相似，并说明理由． （3）在x轴上存在这样的点P，使得PF+PG有最小值？请求出此时点P的坐标． 【解答】解：（1）∵将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE， ∴∠AOB＝∠COF， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠OAB＝∠OCB＝90°， ∴△COF∽△AOB， ∴， ∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上， ∴AB＝OC＝2，BC＝OA＝4， ∴＝， 解得：CF＝1， ∴点F的坐标为（1，2）， 把点F的坐标代入反比例函数y＝（x＞0）得：k＝1×2＝2， 故答案为：2； （2）△COF∽△BFG，理由如下： 设点G的坐标为（4，m）， ∵反比例函数的解析式为，OA＝4， ∴m＝AG＝＝， ∴BG＝AB﹣AG＝1.5， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠OCF＝∠FBG＝90°，BC＝OA＝4， 由（1）得：CF＝1， ∴BF＝BC﹣CF＝3， ∴，， ∴， ∴△OCF∽△FBG； （3）作点G关于x轴的对称点G′，连接FG′，交x轴于点P，如图所示： 则AG'＝AG＝，PG'＝PG， ∴PF+PG＝PF+PG'＝FG'，BG'＝AB+AG'＝2+＝， 此时PF+PG取最小值＝FG'， ∵四边形OABC是矩形， ∴OA∥BC， ∴△PAG'∽△FBG'， ∴＝， 即＝， 解得：PA＝， ∴OP＝OA﹣PA＝4﹣＝， ∴P（，0）， 综上所述，在x轴上存在这样的点P，使得PF+PG有最小值，点P的坐标为（，0）． 2.如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点． （1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的解析式； （2）求△COD的面积； （3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围． （4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标． 【解答】解：（1）∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2＝的图象上， ∴k2＝2×（﹣3）＝﹣6， ∴y2＝； 如图，作DE⊥x轴于E， ∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点， ∴A（﹣2，0）， ∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1＝k1x+b的图象上， ， 解得k1＝﹣，b＝﹣， ∴； （2）由，解得，， ∴C（﹣4，）， ∴S△COD＝S△AOC+S△AOD＝×2×+×2×3＝； （3）由图可得，当k1x+b﹣≥0时，x≤﹣4或0＜x≤2． （4）如图，作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P， ∴由C'和D的坐标可得，直线C'D为， 令x＝0，则y＝﹣， ∴当|PC﹣PD|的值最大时，点P的坐标为（0，）． 【类型二 反比例函数中等腰三角形的存在性】 3．（2022秋•灯塔市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交AB，BC于点E，F． （1）求直线EF的解析式； （2）求△EOF的面积； （3）若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【解答】解：（1）设直线EF的解析式为：y＝kx+b， ∵点B的坐标为（4，2），BA⊥y轴，BC⊥x轴， ∴点F的横坐标为4，点E的纵坐标为2， ∵点E、F都在反比例函数y＝的图象上， ∴点F的坐标为（4，1），点E的坐标为（2，2）， 则， 解得：， ∴直线EF的解析式为y＝﹣x+3； （2）S△EOF＝2×4﹣×2×2﹣×4×1﹣×2×1＝3； （3）∵点E的坐标为（2，2）， ∴OE＝＝2， 当OP＝OE＝2时，点P的坐标为（0，2）或（