专项28 反比例图像与一次函数综合应用（三大类型）-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（人教版）

专项28 反比例图像与一次函数综合应用（三大类型） 考点 反比例与一次函数的综合 方法1：分类讨论的符号； 方法2：四个图逐个分析判断； 方法3：运用特殊点（值）去排除（此种方法作参考，不能完全排三选一） 【类型一：反比例图形与一次函数图形】 【典例1】反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则a＞0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，不符合题意； B、一次函数y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则a＜0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＞0，则反比例y＝经过第一、三象限，不符合题意； C、一次函数y＝ax+b的图象经过第二、四象限，则a＜0，与y轴交于正半轴，则b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，不符合题意； D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三象限，则a＞0，与y轴交于负半轴，则b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝经过第二、四象限，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵y＝x中的1＞0， ∴直线y＝1x经过第一、三象限． ∵y＝﹣中的﹣2＜0， ∴双曲线y＝﹣经过第二、四象限， 综上所述，只有B选项符合题意． 故选：B． 【变式1-2】在同一平面直角坐标系中反比例函数y＝与一次函数y＝x+3的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵反比例函数y＝中，3＞0， ∴反比例函数过第一、三象限， ∵y＝x+3中，k＝1＞0，b＝3＞0， ∴一次函数过第一、二、三象限； 故选：A． 故选：D． 【类型二：反比例函数与一次函数的大小比较】 【典例2】（2022•普陀区校级开学）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（，4）和点B（3，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A．x＜0或＜x＜3 B．x＜或x＞3 C．0＜x＜或x＞3 D．x＜0或x＞3 【答案】C 【解答】解：根据图象得：当y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜或x＞3， 故选：C． 【变式2-1】（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（　　） A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2 【答案】A 【解答】解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2＝的图象的下方， ∴不等式k1x+b＜的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2， 故选：A． 【变式2-2】（2022•朝阳）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，则不等式ax＞的解集为（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2 【答案】D 【解答】解：∵正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点， ∴B（2，﹣m）， ∴不等式ax＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜2， 故选：D． 【变式2-3】（2022•渠县一模）如图，直线y＝ax+b与函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点，与x轴交于点C，且，则不等式ax+b＞的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，则AD∥BE， ∴＝＝， ∵A（1，m）、B（n，1）， ∴AD＝m，BE＝1， ∴m＝3， ∴A（1，3）， ∵函数y＝（x＞0）的图象国过点A（1，3）、B（n，1）两点， ∴k＝1×3＝n•1， ∴n＝3， ∴B（3，1）， 观察图象，不等式ax+b＞的解集为1＜x＜3， 故选：D． 【类型三：反比例函数与一次函数综合应用】 【典例3】（2022•大足区模拟）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（n，﹣1），与x轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）点P在x轴上，且满足S△APB＝8，求点P的坐标． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）代入（k2≠0）中， 得k2＝﹣3， ∴反比例函数的解析式为． 将点B（n，﹣1）代入中， 得n＝3， ∴点B的坐标为（3，﹣1）， 将A（﹣1，3），B（3，﹣1）代入y＝k