专题16 等差数列“函数性质”及综合应用-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第二册）

专题16 等差数列“函数性质”及综合应用 目录 【题型一】等差数列前n项和对称性 1 【题型二】通项公式线性（零点正负） 2 【题型三】等差数列不等式范围 3 【题型四】最值与范围1：通项最值 3 【题型五】最值与范围2：前n项和最值 4 【题型六】求和应用1：正负相间求和 5 【题型七】求和应用2：奇数项与偶数项和 6 【题型八】求和应用3：绝对值型和 6 【题型九】求和应用4：取整函数型数列 7 【题型十】求和应用5：等差裂项相消型 7 【题型十一】求和应用6：无理等差型 8 【题型十二】数列中函数性质综合应用 9 【题型十三】等差数列与三角函数 9 培优第一阶——基础过关练 10 培优第二阶——能力提升练 11 培优第三阶——培优拔尖练 12 【题型一】等差数列前n项和对称性 【典例分析】 在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k＝（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【提分秘籍】 基本规律 ．等差数列与函数关系： (1)经整理an＝dn＋(a1－d)，则数列{an}是等差数列⇔ 通项an为一次函数：即an＝kn＋b (a、b为常数)； (2)经整理Sn＝n2＋n，数列{an}是等差数列⇔Sn为无常数项的二次函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)． 【变式训练】 1.已知递减的等差数列满足，则数列的前n项和取最大值时n=（    ） A．4或5 B．5或6 C．4 D．5 2.记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（    ） A．12 B．12或11 C．11或10 D．10 3.已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【题型二】通项公式线性（零点正负） 【典例分析】 在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（    ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 基本规律 等差数列通项公式an为一次函数：即an＝kn＋b (a、b为常数)，具有直线性质，当k即公差d不为零时，具有单调性，且首项的正负，还决定是否有“零点。”，即正负项分界点 【变式训练】 1.数列中，已知，该数列中相邻两项积为负数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2.首项为-24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.数列{}中，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【题型三】等差数列不等式范围 【典例分析】 设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则选项不正确的是（    ） A．数列的最小项为第项 B． C． D．时，的最大值为 【提分秘籍】 基本规律 等差女数列关于首项和公差的等式或者不等式（不定方程），会涉及到范围的取值，大多数情况下，其不等式组是老教材“线性规划”的应用，只是改成了解不等式组而已。 【变式训练】 1.的前n项和为，若是公差为d（）的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 2.设等差数列的前n项和为，已知，，则下列结论正确的是（        ） A． B． C． D． 3.．设函数，数列满足，若是等差数列.则的取值范围是___________. 【题型四】最值与范围1：通项最值 【典例分析】 数列满足，，且对任意正整数，有，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 基本规律 等差数列或者等差数列前n项和通项公式转化求最值，转化为函数求最值与范围，要注意对应的自变量是正整数n，所以多把自变量限制在正实数或者[1,+）内 【变式训练】 1.等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.若S12>0，S13<0，则数列{|an|}的最小项是（    ） A．第6项 B．第7项 C．第12项 D．第13项 2.已知函数．若数列的前n项和为，且满足，，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．20 D． 3.等差数列的前项和为.已知，.记，则数列的（    ） A．最小项为 B．最大项为 C．最小项为 D．最大项为 【题型五】最值与范围2：前n项和最值 【典例分析】 已知公差不为0的等差数列的前n项和，，是和的等比中项，则（    ） A．有最大值9 B．有最大值25 C．没有最小值 D．有最小值-24 【提分秘籍】 基本规律 与等差数列前n项和有关的最值，大致有以下： 1.Sn为无常数项的二次函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．涉及到最值即可从二次函数图像对称轴来求解。 2.涉及到等差数列首项和公差异号，则可以从正（或者负项）和最大（小）入手。 Ⅰ.当a1>0，d<0且满足时，S m最大； Ⅱ.当a1<0，d>0且满足时， S m最小. 3.