专题1.6 导数-2023年高考数学阶段复习名校模拟题精选（解答题）（新高考地区专用）

专题1.6 导数 题组一、利用导数研究切线问题 1-1、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知函数 求曲线在点处的切线方程； 求经过点的曲线的切线方程。 解：， ， 又， 曲线在点处的切线方程为，即 设切点坐标为， ， 切线方程为 又切线过点， 整理得，解得或 当时，，此时所求切线方程为； 当时，，此时所求切线方程为 故经过点的曲线的切线方程为或  1-2、（2022~2023学年常州市八校第一学期10月阶段考试高三数学） 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； （2）过点作曲线的切线，若切线有且仅有1条，求实数的值． 【解析】 【分析】（1）对求导，代入分别得到纵坐标及斜率，最后求出直线，得到围成的三角形面积； （2）设出切点坐标，得到切线斜率，写出切线方程， 代入点坐标，化简得到，利用得到答案. 【小问1详解】 ，令，，， 故曲线在点处的切线方程为，分别令， 则，，则与两坐标轴交点为，，三角形面积为． 【小问2详解】 设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为 直线过点，则，化简得 切线有且仅有1条，即，化简得， 即，解得或1． 题组二、利用导数解证不等式 2-1、（江苏淮安市2022-2023学年度第一学期期中调研测试试题） 已知函数（）. （1）求函数的单调区间和最值； （2）若，且，证明：. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后利用导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的最值， （2）令，利用导数可求得，即，设，则，再利用函数的单调性可求得结论 【小问1详解】 ，令，解得， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x 1 + 0 单调递增 极大值 单调递减 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 函数在处取得最大值，无最小值. 小问2详解】 令，则， 当时，，所以在上单调递增，又， 所以，即. 因为，不妨设， 所以. 因为，所以. 又由（1）可知函数在区间内增函数， 所以，即 2-2、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分） 已知函数f（x）=aex-ln（x＋1）-lna． （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性： （2）证明：f（x）有唯一极值点t，且f（x）≥1． ．【解析】）当时，，所以． 显然在上单调递增，又， 所以时，；时，， 因此在上单调递减；在上单调递增． （2）依题意，的定义域为． ，令， 显然在上单调递增，又， 所以存在，使得，且时，；时，， 因为，所以时，；时，， 即在上单调递减；在上单调递增， 因此有唯一极小值点t． 由得，所以． 因为， 当且仅当时等号成立，故有唯一极值点t，且 2-3、（盐城一中2022-2023学年第一学期高三年级学情调研（二））已知函数f（x）＝ex（lnx+a）． （1）若f（x）是增函数，求实数a的取值范围； （2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：x1+x2＞2． 【解析】 【分析】(1)求导，由f（x）是增函数，转化为f′（x）≥0对任意x＞0恒成立，即恒成立，构造新函数，求导得单调性，求出最小值，得到a的取值范围. (2)设出两个极值点，即两个极值点是的两个零点，要证明x1+x2＞2，只需证x2＞2﹣x1，只需证g（x2）﹣g（2﹣x1）＝g（x1）﹣g（2﹣x1）＞0，设，求导，证h（x）在（0，1）上单调递减，从而得到g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以x2＞2﹣x1成立，即x1+x2＞2成立． 【小问1详解】 函数的定义域为， 若f（x）是增函数，即f′（x）≥0对任意x＞0恒成立，故恒成立， 设，则， 所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， 所以当x＝1时，g（x）min＝g（1）＝a+1，由a+1≥0得a≥﹣1， 所以a的取值范围是[﹣1，+∞）． 【小问2详解】 不妨设0＜x1＜x2，因为x1，x2是f（x）的两个极值点， 所以，即，同理， 故x1，x2是函数的两个零点，即g（x1）＝g（x2）＝0， 由（1）知，g（x）min＝g（1）＝a+1＜0，故应有a∈（﹣∞，﹣1），且0＜x1＜1＜x2， 要证明x1+x2＞2，只需证x2＞2﹣x1， 只需证g（x2）﹣g（2﹣x1）＝g（x1）﹣g（2﹣x1） ， 设， 则， 所以h（x）在（0，1）上单调递减，因为x1∈（0，1），所以h（x1）＞h（1）＝0， 即g（x2）﹣g（2﹣x1）＞0，g（x2）＞g（2﹣x1）， 又x2＞1，2﹣x1＞1，及g（x）在（1，+∞）上单调递增， 所以x2＞2﹣x1成立，即x1+x2＞2成立 2-4、（江苏如皋中学2022~2023