1.4 第5课时 用空间向量研究夹角问题(1)——线线角与线面角-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第一章 空间向量与立体几何 1.4　空间向量的应用 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 第5课时 用空间向量研究夹角问题(1)——线线角与线面角 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 素养养成·学透教材 (2) 课堂评价·及时反馈 B C A B AB Thank you for watching 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 学习 目标 1. 理解空间线线、线面夹角的概念． 2. 能利用向量方法求线线角、线面角的大小． 3. 掌握利用空间向量解决立体几何中线线角、线面角问题的方法与步骤. 类型1　两异面直线所成的角 　(P36例7补充)已知在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，若E是BC的中点，求直线A′C与DE所成角的余弦值． 【解答】 如图，建立空间直角坐标系，则A′(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，B(a,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，eq \o(A′C,\s\up16(→))＝(a，a，－a)，eq \o(DE,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－\f(a,2)，0))，所以cos〈eq \o(A′C,\s\up16(→))，eq \o(DE,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(A′C,\s\up16(→))·\o(DE,\s\up16(→)),|\o(A′C,\s\up16(→))||\o(DE,\s\up16(→))|)＝eq \f(\r(15),15)，所以直线A′C与DE所成角的余弦值为eq \f(\r(15),15). 若两条异面直线所成的角为θ，对应的方向向量分别为m，n，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝eq \f(|m·n|,|m||n|)，可根据此公式求解相关量． 类型2　直线与平面所成的角 　如图(1)，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝eq \r(2)BB1，∠ABC＝120°，M为A1C1的中点，求直线BM与平面ABB1A1所成的角． (1) 【解答】 如图(2)，以B为原点，BA，BB1所在的直线分别为x轴、z轴，在平面ABC中过点B作AB的垂线为y轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝eq \r(2)BB1＝2，则B(0，0,0)，A1(2，0，eq \r(2))，C1(－1，eq \r(3)，eq \r(2))，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\r(2)))，eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\r(2)))，平面ABB1A1的一个法向量为n＝(0,1,0)．设直线BM与平面ABB1A1所成的角为θ，则sinθ＝eq \f(|\o(BM,\s\up16(→))·n|,|\o(BM,\s\up16(→))||n|)＝eq \f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(1,2)，所以θ＝30°，即直线BM与平面ABB1A1所成的角为30°. (2) 若直线l与平面α所成的角为θ，对应直线的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则sinθ＝|cos〈m，n〉|，可根据此公式求解相关量． 变式　如图(1)，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝2，Q为BC的中点，求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． (1) 【解答】 如图(2)，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以O为原点，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))，eq \o(OO1,\s\up16(→))为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1,0)，B(eq \r(3)，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(eq \r(3)，0,2)，C1(0,1,2)．又Q为BC的中点，则Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，eq \o(AQ,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)，0))，eq \o(AC1,\s\up16(→))＝(0,2,2)，eq \o(CC1,\s