1.4 第3课时 空间中直线、平面的垂直-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第一章 空间向量与立体几何 1.4　空间向量的应用 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 第3课时 空间中直线、平面的垂直 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 素养养成·学透教材 课堂评价·及时反馈 C B B C AB Thank you for watching 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 学习 目标 1. 了解空间中直线、平面的垂直关系． 2. 掌握判断和证明空间中直线、平面的垂直关系的方法. 类型1　利用空间向量证明线线垂直 　如图(1)，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD. (1) 【解答】 由题意可知四面体ABCD为正四面体，过A作底面BCD的垂线，垂足为O，连接BN，则O在BN上，过O作直线PQ∥CD，分别交BC，BD于P，Q两点，则OP，ON，OA两两相互垂直，以O为原点，OP，ON，OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(6)a,3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(3)a,3)，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(\r(3)a,6)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(\r(3)a,6)，0))，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(3)a,6)，\f(\r(6)a,6)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3)a,6)，0))，则eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3)a,3)，－\f(\r(6)a,6)))，eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(3)a,3)，－\f(\r(6)a,3)))，eq \o(CD,\s\up16(→))＝(－a,0,0)．因为eq \o(MN,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝0×0＋eq \f(\r(3)a,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3)a,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6)a,6)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6)a,3)))＝－eq \f(a2,3)＋eq \f(a2,3)＝0，eq \o(MN,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝0×(－a)＋eq \f(\r(3)a,3)×0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6)a,6)))×0＝0，所以MN⊥AB，MN⊥CD. (2) 欲证线线垂直，可以证明两直线的方向向量垂直． 类型2　利用空间向量证明线面垂直 　(P32例4补充)如图(1)，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2，求证：AB1⊥平面A1B1C1. (1) 【解答】 方法一：如图(2)，以AC的中点O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，－eq \r(3)，0)，A1(0，－eq \r(3)，4)，B1(1，0,2)，C1(0，eq \r(3)，1)，则eq \o(AB1,\s\up16(→))＝(1，eq \r(3)，2)，eq \o(A1B1,\s\up16(→))＝(1，eq \r(3)，－2)，eq \o(A1C1,\s\up16(→))＝(0,2eq \r(3)，－3)．由eq \o(AB1,\s\up16(→))·eq \o(A1B1,\s\up16(→))＝0，得AB1⊥A1B1.由eq \o(AB1,\s\up16(→))·eq \o(A1C1,\s\up16(→))＝0，得AB1⊥A1C1.因为A1B1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1B1C1. (2) 方法二：同方法一建立空间直角坐标系，则eq \o(AB1,\s\up16(→))＝(1，eq \r(3)，2)，eq \o(A1B1