1.4 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第一章 空间向量与立体几何 1.4　空间向量的应用 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 素养养成·学透教材 1 课堂评价·及时反馈 A D BC (0,3,2)(答案不唯一) Thank you for watching 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 学习 目标 1. 理解并会求直线的方向向量以及平面的法向量． 2. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义. －eq \f(3,2) eq \f(3,2) 类型1　直线的方向向量 　(1) 若直线l的方向向量为a＝(2,1,3)，且直线l过A(0，y,3)，B(－1，－2，z)两点，则y＝　　，z＝　 　. 【解析】 因为直线l的方向向量为a＝(2,1,3)，且直线l过A(0，y,3)，B(－1，－2，z)两点，所以eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－1，－2－y，z－3)＝λ(2,1,3)，则λ＝－eq \f(1,2)，所以－2－y＝－eq \f(1,2)，z－3＝－eq \f(3,2)，解得y＝－eq \f(3,2)，z＝eq \f(3,2). (2) 已知直线l，m的方向向量分别是a＝(1,1,0)，b＝(－1，t,2)，若l⊥m，则实数t的值是____. 【解析】 因为直线l，m的方向向量分别是a＝(1,1,0)，b＝(－1，t，2)，l⊥m，所以a·b＝－1＋t＝0，解得t＝1. 直线的方向向量与直线上过任意两点的向量共线，利用向量共线定理可求参数值． 若两直线平行，则其方向向量平行；若两直线垂直，则其方向向量垂直． 类型2　平面的法向量 　(P28例1补充)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，CD的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1) 求平面A1BC1的一个法向量； 【解答】 因为在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，所以A1(2,0,2)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，则eq \o(BA1,\s\up16(→))＝(0，－2,2)，eq \o(BC1,\s\up16(→))＝(－2,0,2)．设平面A1BC1的法向量是n＝(x，y，z)，则n·eq \o(BA1,\s\up16(→))＝2z－2y＝0，n·eq \o(BC1,\s\up16(→))＝－2x＋2z＝0，取x＝2，得n＝(2,2,2)，所以平面A1BC1的一个法向量是(2,2,2)． (2) 求证：eq \o(D1F,\s\up16(→))为平面ADE的一个法向量． 【解答】 由(1)知D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，D1(0,0,2)，F(0,1,0)，所以eq \o(DE,\s\up16(→))＝(2,2,1)，eq \o(DA,\s\up16(→))＝(2,0,0)，eq \o(D1F,\s\up16(→))＝(0,1，－2)，从而eq \o(D1F,\s\up16(→))·eq \o(DE,\s\up16(→))＝2－2＝0，eq \o(D1F,\s\up16(→))·eq \o(DA,\s\up16(→))＝0，所以D1F⊥DE，D1F⊥DA.又DE，DA⊂平面ADE，DE∩DA＝D，所以D1F⊥平面ADE，因此，eq \o(D1F,\s\up16(→))为平面ADE的一个法向量． 求平面α法向量的方法为先建立空间直角坐标系，再找出平面内两个非共线向量，设出平面的法向量，最后利用法向量与平面内向量分别垂直进行计算． 变式　如图(1)，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq \f(1,2)，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面SDC与平面SAB的一个法向量． (1) 【解答】 以A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，eq \o(DS,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，1)).向量eq \o(AD,\