1.3 空间向量及其运算的坐标表示-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第一章 空间向量与立体几何 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 素养养成·学透教材 课堂评价·及时反馈 A D B AC (1,2,1) (－1,2,1) Thank you for watching 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 学习 目标 1. 能够建立恰当的空间直角坐标系，准确写出点的坐标，求出有关向量的坐标． 2. 掌握空间向量运算的坐标表示，能利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的问题. 类型1　建系求点、向量的坐标 　(1) 如图(1)，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M，N分别是AB，PC的中点，建立适当的空间直角坐标系，写出点M，N的坐标． 图(1) 【解答】 因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，所以AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系．由PA＝AD＝2，得A(0，0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0，0,2)，又M，N分别是AB，PC的中点，所以M(1,0,0)，N(1，1,1)． 图(2) (2) (P18例1补充)如图(1)，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AB＝1，建立适当的空间直角坐标系，求向量eq \o(MN,\s\up16(→))的坐标． 图(1) 【解答】 因为PA＝AB＝1，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，所以eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(AP,\s\up16(→))是两两垂直的单位向量，以{eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(AP,\s\up16(→))}为单位正交基底建立空间直角坐标系，如图(2)，则A(0，0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．因为eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(MA,\s\up16(→))＋eq \o(AP,\s\up16(→))＋eq \o(PN,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AP,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(PC,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AP,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AP,\s\up16(→))，所以向量eq \o(MN,\s\up16(→))的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))). 图(2) 根据图形特征找到两两垂直的三条垂线建立恰当的平面直角坐标系，熟悉常见几何模型下建系的方法，有助于点坐标的表示．用基底表示向量，确定向量的坐标，当向量用线段表示时，向量的坐标为线段的终点坐标减去起点坐标． 类型2　空间向量的平行与垂直 　(P20例2补充)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．设a＝eq \o(AB,\s\up16(→))，b＝eq \o(AC,\s\up16(→)). (1) 若|c|＝3，c∥eq \o(BC,\s\up16(→))，求c； 【解答】 因为eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－2，－1,2)且c∥eq \o(BC,\s\up16(→))，所以设c＝λeq \o(BC,\s\up16(→))＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)，所以|c|＝eq \r(－2λ2＋－λ2＋2λ2)＝3|λ|＝3，解得λ＝±1，所以c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． (2) 若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值． 【解答】 因为a＝eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1,1,0)，b＝eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－1,0,2)，所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．又(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－eq \f(5,2). 判断空间向量垂直或平行的步骤： (1) 向量化：将空间中的垂直与平