第1章 微专题1 基底法求线线角与点点距-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第一章 空间向量与立体几何 微专题1　基底法求线线角与点点距 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 典例剖析·素养提升 C 课堂评价·及时反馈 Thank you for watching 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 探究1　基底法求线线角 　在底面为正三角形的直棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝8，AA1＝6，M，N分别为AB，BC的中点，则异面直线A1M与B1N所成角的余弦值为(　　) A. eq \f(11,13) B. eq \f(12,13) C. eq \f(7,13) D. eq \f(4,5) 【解析】 如图，|eq \o(A1M,\s\up16(→))|＝|eq \o(B1N,\s\up16(→))|＝eq \r(42＋62)＝2eq \r(13)，eq \o(A1M,\s\up16(→))·eq \o(B1N,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A1A,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(B1B,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up16(→))))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A1A,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A1A,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up16(→))))＝eq \o(A1A,\s\up16(→))2＋eq \f(1,2) eq \o(A1A,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(A1A,\s\up16(→))＋eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝36＋eq \f(1,4)×8×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝28，所以cos〈eq \o(A1M,\s\up16(→))，eq \o(B1N,\s\up16(→))〉＝eq \f(28,52)＝eq \f(7,13). 变式　如图，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点． (1) 求证：AE⊥BC； 【解答】 (1) 因为eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(DE,\s\up16(→))－eq \o(DA,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(DB,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→)))－eq \o(DA,\s\up16(→))，eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(DB,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→))，所以eq \o(AE,\s\up16(→))·eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DB,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(DC,\s\up16(→))－\o(DA,\s\up16(→))))·(eq \o(DB,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(DB,\s\up16(→))2－eq \f(1,2) eq \o(DC,\s\up16(→))2－eq \o(DA,\s\up16(→))·eq \o(DB,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→))·eq \o(DC,\s\up16(→)).又DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，所以eq \o(AE,\s\up16(→))·eq \o(CB,\s\up16(→))＝0，故AE⊥BC. (2) 求直线AE与DC的夹角的余弦值． 【解答】 eq \o(AE,\s\up16(→))·eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DB,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(DC,\s\up16(→))－\o(DA,\s\up16(→))))·eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(DB,\s\up16(→))·eq \o(DC,\s\up16(