3.1 第2课时 椭圆的简单几何性质(1)-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭圆 第1页 第三章　圆锥曲线的方程 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 第2课时 椭圆的简单几何性质(1) 第1页 第三章　圆锥曲线的方程 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 素养养成·学透教材 C C 课堂评价·及时反馈 D C A AD Thank you for watching 第1页 第三章　圆锥曲线的方程 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 学习 目标 1. 掌握椭圆的简单几何性质． 2. 能根据椭圆的方程求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率等. 类型1　椭圆的简单几何性质 　(P112例4补充)已知焦点在x轴上的椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1，点P(eq \r(2)，1)在椭圆上． (1) 求m的值； 【解答】 由题意知点P(eq \r(2)，1)在椭圆上，代入得eq \f(\r(2)2,4)＋eq \f(12,m)＝1，解得m＝2. (2) 依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率． 【解答】 由(1)知，椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1，则a＝2，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(2)，所以椭圆的长轴长2a＝4，短轴长2b＝2eq \r(2)，焦距2c＝2eq \r(2)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2). 判断椭圆几何性质的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质． 类型2　由椭圆性质求椭圆方程 　求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1) 与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且离心率为eq \f(\r(5),5)； 【解答】 因为c＝eq \r(　,9－4)＝eq \r(　,5)，所以所求椭圆的焦点为(－eq \r(　,5)，0)，(eq \r(5)，0)．设所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(　,5),5)，c＝eq \r(　,5)，所以a＝5，b2＝a2－c2＝20，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1. (2) 椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点的坐标分别是(－6,0)，(6,0)，焦点在x轴上； 【解答】 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．因为2c＝8，所以c＝4.又a＝6，所以b2＝a2－c2＝20，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1. (3) 长轴长与短轴长的和为18，焦距为6. 【解答】 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋2b＝18，,2c＝6，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝4.))因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1. 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路． (1) 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等． (2) 在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 类型3　椭圆的离心率 　(1) 若椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)满足2b＝a＋c，则椭圆C的离心率e等于(　　) A. eq \f(\r(5),5) B. eq \f(\r(10),4) C. eq \f(3,5) D. eq \f(1＋\r(5),2) 【解析】 因为2b＝a＋c，且a2＝b2＋c2，所以4(a2－c2)＝(a＋c)2，所以5e2＋2e－3＝0，解得e＝eq \f(3,5)或e＝－1(舍去)． (2) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq \f(x2,m2＋4)＋eq \f(y2,3)＝1(m∈R)的离心率的取值范围为(　　) A. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\