2.3 第2课时 两点间的距离公式-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第二章　直线和圆的方程 2.3　直线的交点坐标与距离公式 第1页 第二章　直线和圆的方程 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 第2课时 两点间的距离公式 第1页 第二章　直线和圆的方程 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 素养养成·学透教材 正方形 课堂评价·及时反馈 A C D AC D Thank you for watching 第1页 第二章　直线和圆的方程 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 学习 目标 1. 掌握平面上两点间的距离公式． 2. 会运用坐标法证明简单的平面几何问题. 类型1　两点间距离公式的直接应用 　(P73例3补充)在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使得点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等． 【解答】 方法一：设点P的坐标为(x，y)，由P在l上且点P到点A，B的距离相等得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＋1＝0，,\r(x－12＋y＋12)＝\r(x－22＋y2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))所以点P的坐标为(0,1)． 方法二：设P(x，y)，由题知，线段AB的垂直平分线方程为x＋y－1＝0①.又3x－y＋1＝0②，解由①②组成的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))所以点P的坐标为(0,1)． 利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面上任意两个已知点之间的距离．反过来，已知两点之间的距离，也可以根据条件求其中某一个点的坐标． 类型2　运用两点间距离公式求最值 　已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． (1) 在直线l上求一点P，使得|PA|＋|PB|最小，并求出这个最小值； 【解答】 设点A关于直线l的对称点为A′(m，n)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(n－0,m－2)＝－2，,\f(m＋2,2)－2×\f(n＋0,2)＋8＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝8，))故A′(－2,8)．由P为直线l上的一点，得|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,x－2y＋8＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3，))故所求点P的坐标为(－2,3)，|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|＝8－(－4)＝12. (2) 在直线l上求一点P，使得||PB|－|PA||最大，并求出这个最大值． 【解答】 由A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，得||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点．又直线AB的方程为y＝x－2，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,x－2y＋8＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝10，))故所求点P的坐标为(12,10)，||PB|－|PA||的最大值为|AB|＝eq \r(－2－22＋－4－02)＝4eq \r(2). 利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面上两个式子的和或差的最小值或最大值，可利用式子的几何意义和对称思想，转化为两点间的距离，进而用两点间的距离公式求解． 类型3　平面几何图形问题 　(1) 已知点A(1,2)，B(－1,1)，C(0，－1)，D(2,0)，那么四边形ABCD的形状为_____________. 【解析】 因为kAB＝eq \f(1,2)，kCD＝eq \f(1,2)，kBC＝－2，kAD＝－2，所以AB∥CD，BC∥AD，kAB·kBC＝eq \f(1,2)×(－2)＝－1，所以AB⊥BC，所以四边形ABCD为矩形．又因为|AB|＝eq \r(1＋12＋2－12)＝eq \r(5)，|BC|＝eq \r(－1－02＋1＋12)＝eq \r(5)，所以|AB|＝|BC|，故矩形ABCD为正方形． (2) (P73例4补充)在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，求证：△ABC为等腰三角