第19讲 一次函数与几何图形面积考点分类探究-【专题突破】2022-2023学年八年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

第19讲 一次函数与几何图形面积考点分类探究 考点一 一次函数图象与坐标轴围成图形的面积 【知识点睛】 · 一次函数y=kx+b（k≠0）与坐标轴交点规律 对于直线 y=kx+b（k≠0） 与x轴交点坐标 （，0） 故：当k、b同号时，直线交于x轴负半轴； 当k、b异号时，直线交于x轴正半轴 与y轴交点坐标 （0，b） 故：当b＞0时，直线交于y轴正半轴； 当b＜0时，直线交于y轴负半轴 · 求两直线交点坐标方法：联立两直线解析式，得二元一次方程组，解方程组得交点坐标； · 求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高； 类型一 一条直线与坐标轴围成的三角形面积 解题步骤： ①求出直线与x轴、y轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴围成的直角三角形的两条直角边长； ②利用三角形面积公式求出三角形的面积 【类题训练】 1．已知一次函数图象经过A（﹣4，﹣10）和B（3，4）两点，与x轴的交于点C，与y轴的交于点D． （1）求该一次函数解析式； （2）点C坐标为 　 　，点D坐标为 　 　； （3）画出该一次函数图象，并求该直线和坐标轴围成的图形面积． 【分析】（1）用待定系数法求直线AB的解析式； （2）令y＝0求得点C的坐标，令x＝0求得点D的坐标； （3）利用已知的点A和点B画出一次函数的图象，然后利用求得的点C和点D求出OC和OD的长度，最后求得直线和坐标轴围成的图形面积． 【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），则 ，解得：， ∴一次函数的解析式为y＝2x﹣2． （2）当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，x＝1， ∴C（1，0），D（0，﹣2）． 故答案为：（1，0），（0，﹣2）． （3）由点A和点B，可以画出一次函数的图象，如下如所示， ∵C（1，0），D（0，﹣2）， ∴OC＝1，OD＝2， ∴S△OCD＝＝1， ∴一次函数与坐标轴围成的图形的面积为1． 2．在平面直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点． （1）求这条直线与坐标轴围成的图形的面积． （2）若这条直线与y＝﹣x+1交于点C，求点C的坐标． 【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，进一步求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解； （2）联立方程，解方程即可． 【解答】（1）解：设直线解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点代入得， 解得， ∴直线解析式为y＝﹣2x+3， 将x＝0代入得y＝3， ∴与y轴交于点（0，3）， 将y=0代入得x＝， ∴与x轴交于点（，0）， ∴S＝×3×＝． （2）解得， ∴点C的坐标是（2，﹣1）． 变式．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是　 　． 【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0）可知b＝﹣2k，用k表示出函数图象与y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0）， ∴2k+b＝0，b＝﹣2k， ∴y＝kx﹣2k， 令x＝0，则y＝﹣2k， ∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为1， ∴×2×|﹣2k|＝1，即|2k|＝1， 解得：k＝±， 则函数的解析式是y＝x﹣1或y＝﹣x+1． 故答案为y＝x﹣1或y＝﹣x+1． 类型二 两条直线与坐标轴围成的三角形面积 解题标准： 在平面直角坐标系内求三角形的面积，通常以坐标轴上的边为底，高就是底所对的顶点到这条边的距离 【类题训练】 1．如图，若直线y＝﹣2x+1与直线y＝kx+4交于点B（﹣1，m），且两条直线与y轴分别交于点C、点A；那么△ABC的面积为　 　． 【分析】根据B点在直线y＝﹣2x+1上，且横坐标为﹣1，求出B点的坐标，再根据直线y＝kx+4过B点，将（﹣1，3）代入直线y＝kx+4解析式，即可求出答案，根据已知得出B点的坐标，再根据直线y＝﹣2x+1和直线y＝x+4求得与y轴交点A和C点的坐标，再根据三角形的面积公式得出S△ABC． 【解答】解：∵B点在直线y＝﹣2x+1上，且横坐标为﹣1， ∴y＝﹣2×（﹣1）+1＝3，即B点的坐标为（﹣1，3） 又直线y＝kx+4过B点，将（﹣1，3）代入直线y＝kx+4得：3＝﹣k+4， 解得k＝1； ∴直线AB的解析式为y＝x+4， ∴直线AB与y轴交点A的坐标为（0，4）， ∵直线y＝﹣2x+1与y轴交点C的坐标为（0，1）， ∴AC＝4﹣1＝3， ∴S△ABC＝AC•|xB|＝×3×1＝． 故答案为．