4 1.1 1.1.3　第2课时　补集及综合应用（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教B版2019）

第2课时　补集及综合应用 知识点　补集 1．全集的概念 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示． 全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通常把实数集R作为全集；当我们只讨论大于0且小于5的实数时，可选{x|0<x<5}为全集，通常也会把给定的集合作为全集． 2．补集的概念 自然语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集”． 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 图形语言 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的. (3)集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比： 实数 集合 被减数a 被减集合(全集)U 减数b 减集合A 差a－b 补集∁UA (4)符号∁UA有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U；③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 1．(2021·天津市单元测试)已知全集U＝{1，2，3，4}，若A＝{1，3}，则∁UA＝(　　) A．{1，2} B．{1，4} C．{2，3} D．{2，4} D　[∵全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}， ∴∁UA＝{2，4}，故选D.] 2．(2021·全国单元测试)已知全集U＝R，A＝{x|－2<x≤3}，∁UA＝(　　) A．{x|x≤－2} B．{x|x≤－2或x>3} C．{x|x≥3} D．{x|x≤－2或x≥3} B　[因为全集U＝R，A＝{x|－2<x≤3}， 所以，∁UA＝{x|x≤－2或x>3}，故答案为B.] 3．(多选)已知集合A＝{x|－3<x<6}，B＝{x|2<x<7}，则∁A(A∩B)的子集可以是(　　) A．{x|－3≤x≤2} B．{x|－3<x≤2} C．{x|－3≤x<2} D．{x|－3<x<2} BD　[∵A＝{x|－3<x<6}，B＝{x|2<x<7}， ∴A∩B＝{x|2<x<6}， ∴∁A(A∩B)＝{x|－3<x≤2}． ∴∁A(A∩B)的子集可以是{x|－3<x≤2}，{x|－3<x<2}．故选BD.] 4．(2021·全国期末考试)已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，M＝{1，4}，N＝{1，2，3}，则(∁UM)∩N＝__________． 解析：　∵U＝{0，1，2，3，4，5}，M＝{1，4}，N＝{1，2，3}， 则(∁UM)∩N＝{0，2，3，5}∩{1，2，3}＝{2，3}，故答案为：{2，3}． 答案：　{2，3} 5．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________． 解析：　∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}， ∴N＝{x|x≤0或x≥2}． ∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}． 答案：　{x|x<1或x≥2} 题型一　补集的运算 (1)设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，B＝{1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{4}　　　　　　　　　 B．{2，4} C．{4，5} D．{1，3，4} (2)已知集合A＝{x|－1<x－3≤2}，B＝{x|3≤x<4}，则∁AB＝(　　) A．{x|2<x<3或4<x<5} B．{x|2<x≤3或4<x≤5} C．{x|2<x<3或4≤x≤5} D．{x|2<x≤3或4≤x≤5} 点拨：　注意补集的概念及“∁UA”符号的含义． 解析：　(1)图中阴影部分表示的集合在集合A中但不含集合B中的元素，故图中阴影部分表示的集合是A∩(∁UB).因为U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2，3}，所以∁UB＝{4，5}．因为A＝{2，4}，所以A∩(∁UB)＝{4}．故选A. (2)由A＝{x|－1<x－3≤2}，得A＝{x|2<x≤5}． 又因为B＝{x|3≤x<4}，所以∁AB＝{x|2<x<3或4≤x≤5}，故选C. 答案：　(1)A　(2)C 求集合补集的依据及处理技巧 (1)依据：集合补集的定义． (2)两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助维恩图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解