第一章 §2　任意角（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？ (3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转 60 分钟时，你距离地面是多少米？ 解析： (1)是周期现象． (2) 转四圈需要时间为 4×12＝48(分钟). (3) 第一次距离地面最高需12 2 ＝6(分钟)，而周期是 12 分钟，所以第四次距地面最高需 12×3＋6＝42(分钟). (4) 因为 60÷12＝5，所以转 60 分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即 40.5－40 ＝0.5(米). 学生用书 第 4 页 §2 任意角 [学习目标] 1.了解任意角的概念，理解象限角的概念.2.掌握终边相同的角的含义及表 示． 知识点一 任意角 1. 角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2. 角的分类 按旋转方向，角可以分为三类： 名称 定义 图形 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 求下列各式的值，并作图说明运算的几何意义． (1)90°＋(－60°) ；(2)60°－180°；(3)－60°＋270°. 解析： (1)90°＋(－60°)＝30°， 在平面直角坐标系中，以 x 轴非负半轴作始边，沿逆时针旋转为正角， 90°＋(－60°) 表示 90°角的终边沿顺时针旋转 60°； (2)60°－180°＝－120°， 在平面直角坐标系中，以 x 轴非负半轴作始边，沿逆时针旋转为正角，60°－180°表示 60°角的终边沿顺时针旋转 180°； (3) －60°＋270°＝210°， 在平面直角坐标系中，以 x 轴非负半轴作始边，沿逆时针旋转为正角，－60°＋270°表示－60°角的终边沿逆时针旋转 270°. 方法技巧 在平面直角坐标系中，以 x 轴非负半轴作始边，沿逆时针旋转为正角(沿顺时针旋转为负角)，加上一个角为终边沿逆时针旋转，减去一个角为终边沿顺时针旋转． 即时练 1.经过 2 个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是( ) A．60°，720° B．－60°，－720° C．－30°，－360° D．－60°，720° B [钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而 2 12 ×360°＝60°， 2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.故选 B.] 知识点二 象限角及其表示 1. 象限角的概念 在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 2. 象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} [点拨] 角的终边在坐标轴上，这个角不属于任何象限． 3. 终边相同的角 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S＝{β|β ＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍 的和． [点拨] (1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏． (2)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相 同的角有无数个，它们相差 360°的整数倍．终边不同则表示的角一定不同． 学生用书 第 5 页 角度一 用终边相同的角求给定范围的角 写出与 15°角终边相同的角的集合，并求出该集合中适合不等式－1 080°≤β< －360°的角β. 解析： 与 15°角终边相同的角的集合 S＝{β|β＝15°＋k·360°，k∈Z}． S 中适合不等式－1 080°≤β<－360°的角β是－3×360°＋15°＝－1 065°，－ 2×360°＋15°＝－705°.即角β是－1 065°，－705°. 方法技巧 在指定条件下，求与角α终边相同的角时，可先将这样的角表示为α＋k·360°(k∈Z)的形 式，然后用赋值法或解不等式确定 k 值，从而求出满足条件的角． 即时练 2.与－2 022°终边相同的最小正角是( ) A．138° B．132° C．58° D．42° A [由－2 022°＝－360°×6＋138°， 所以与－2 022°终边相同的最小正角是 138°.故选 A.] 角度二 判定给定角是