第五章 §1　1.2　复数的几何意义（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

当 a＝－3，b＝2 时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8＋4i}，符合题意．所以 a＝－3，b＝2. 若 M∩N＝{8}，则 8＝(a2－1)＋(b＋2)i， 即 a2－1＝8 且 b＋2＝0， 得 a＝±3，b＝－2. 当 a＝－3，b＝－2 时，不符合题意，舍去；当 a＝3，b＝－2 时，M＝{6＋3i，8}，N＝ {3i，8}，符合题意． 所以 a＝3，b＝－2. 若 M∩N＝{(a＋3)＋(b2－1)i}＝{(a2－1)＋(b＋2)i}， a＋3＝a2－1， 则 b2－1＝b＋2， a2－a－4＝0， 即 b2－b－3＝0， 此方程组无整数解．综上可得 a＝－3，b＝2 或 a ＝3，b＝－2. 学生用书 第 120 页 1.2 复数的几何意义 知识点一 复数的几何意义 1. 复平面 如图所示，点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)可以用点 Z(a，b) 表示．这个通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面． 实轴：x 轴称为实轴． 虚轴：y 轴称为虚轴． 2. 复数的几何意义 (1) 复数 z＝a＋bi 与复平面内的点 Z(a，b)是一一对应的，即复数 z＝a＋bi 复平面内的点 Z(a，b). → (2) 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ ＝(a，b)也是一一对应的，即复数 z＝a → ＋bi 平面向量OZ . → (3) 向量OZ 的模称为复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.由向量模的定义可知， ( a 2 ＋ b 2 )|z|＝|a＋bi|＝ ．如果 b＝0，那么 z＝a＋bi 是一个实数 a，它的模等于|z|＝ a2＋b2 ＝ a2 ＝|a|(a 的绝对值). 虽然两个复数一般不能比较大小，但它们的模是非负实数，可以比较大小． → [点拨] 复数 z＝a＋bi、复平面内的点 Z(a，b)和平面向量OZ 之间的关系可用图表示． 角度一 复数与复平面内的点 在复平面内，若复数 z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i 对应的点：(1)在虚轴上；(2) 在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线 y＝x 上，分别求实数 m 的取值范围． 解析： 复数 z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i 的实部为 m2－2m－8，虚部为 m2＋3m－ 10. (1)由题意得 m2－2m－8＝0. 解得 m＝－2 或 m＝4. m2－2m－8<0， (2) 由题意得 m2＋3m－10>0， 解得 2<m<4. (3)由题意得(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0， ∴2<m<4 或－5<m<－2. (4)由题意得 m2－2m－8＝m2＋3m－10，故 m＝2 . 5 方法技巧 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内，复数所表 示的点所处的位置决定了复数实部、虚部的取值特征． 即时练 1.若复数 a2－4＋(a＋2)i(a∈R)为纯虚数，则复数 z＝4－ai 在复平面所对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第一或第四象限 C [ ∵复数 a2－4＋(a＋2)i(a∈R)是纯虚数， ∴实部 a2－4＝0①，虚部 a＋2≠0②， 由①②解得 a＝2.故 z＝4－ai 对应的点为(4，－2)位于第四象限．故选 C.] 即时练 2.在复平面内表示复数 z＝(m－3)＋2 m i 的点在直线 y＝x 上，则实数 m 的值为 ． 解析： 因为 z＝(m－3)＋2 m i 对应的点的坐标为(m－3，2 m) ，因为复数 z 表示的点在直线 y＝x 上，所以 m－3＝2 m ，解得 m＝9. 答案： 9 学生用书 第 121 页 角度二 复数与复平面内的向量 在复平面内，复数 i，1，4＋2i 对应的点分别是 A，B，C.求平行四边形 ABCD 的顶点 D 所对应的复数． 解析： 法一：由复数的几何意义得 A(0，1)，B(1，0)，C(4，2)，则 AC 的中点为(2，3 ). 2 x＋1＝2， 2 x＝3， 由平行四边形的性质知该点也是 BD 的中点，设 D(x，y)，则 y＋0＝3， 所以 y＝3， 即点 D 2 2 的坐标为(3，3)，所以点 D 对应的复数为 3＋3i. → 法二：由已知得OA → ＝(0，1)，OB → ＝(1，0)，OC ＝(4，2)， → 所以BA → ＝(－1，1)，BC ＝(3，2)， → 所以BD → ＝BA → ＋BC → ＝(2，3)，所以OD → ＝OB → ＋BD ＝(3，3)， 即点 D 对应的复数为 3＋3i. 方法技巧 复数与平面向量的对应关系 (1) 根据复数与平面向量的对应