第四章 §2　2.3　三角函数的叠加及其应用（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

＝－sin 3π＋β 4 π ＋α cos 4 3π ＋β －cos 4 sin (π 4 ＋α) 3 ( 5 )＝－ 5 × － 13 －12 － 13 ×4 ＝63 . 5 65 10.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边的两个锐角为α，β，它们的 终边分别交单位圆于 A，B 两点，已知 A，B 两点的横坐标分别是 2 10 (1) 求 tan (α＋β)的值； 和2 5 . 5 (2) 求α＋2β的值． ( α ＝ )解析： (1)由单位圆中三角函数的定义，可得 cos 2 10 ，cos β＝ ( 2 5 . )5 由于α，β为锐角，所以 sin α＝ 1－cos2α ＝7 2 ， 10 sinβ＝ 1－cos2β ＝ 5 . 5 从而 tanα＝7，tan β＝1 ， 2 7＋1 所 以 tan (α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝ 2 1－7 2 ＝－3. (2)因为 tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β] －3＋1 ＝ tan （α＋β）＋tan β 1－tan （α＋β）tan β ＝ 2 1＋3 2 ＝－1， π 又 0<α< 2 ，0<β<π ， 2 所以 0<α＋ 3π 2β< ， 2 ( ＝ )从而α＋2β 3π . 4 2.3 三角函数的叠加及其应用 [学习目标] 1.初步掌握两角和与差的三角函数公式和公式的由来以及公式的正用和逆 用.2.理解辅助角公式的结构形式，并利用公式进行化简． 知识点 辅助角公式 1. 辅助角公式 a sin α＋b cos α＝ a2＋b2 sin (α＋φ)(a，b 不同时为 0).其中角φ所在的象限由 a，b 的 符号确定，角φ的值由 sin_φ和 cos_φ的值确定，也就是由 tan_φ＝b a 来确定． 2. 几个振幅和初相不同但频率相同的正弦波之和，总是等于另一个具有相同频率的正弦 波． [点拨] 辅助角φ不唯一，只要满足 tan φ＝b a 的φ角均符合题意． 角度一 两角和与差公式的逆用 A． 3 2 C．1 2 (1)sin 17°·cos 43°＋cos 17°·sin 43°＝( ) B．－ 3 2 D．－1 2 (2)cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( ) A．－ 3 2 C．－1 2 B． 3 2 D．1 2 解析： (1)由两角和的正弦公式可知sin 17°·cos 43°＋cos 17°·sin 43° ( ＝ )＝sin(17°＋43°) ＝sin 60° 3 2 .故选 A. (2)cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(42°＋18°)＝cos 60°＝1 2 .故选 D. 答案： (1)A (2)D 学生用书 第 104 页 方法技巧 逆用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，一般是观察角、函数名、所求(或所 化简)问题的整体形式中的差异，利用诱导公式把三角函数式中的角转化为能够应用公式的形 式，或利用辅助角公式 a sin α＋b cos α＝ a2＋b2 sin (α＋φ)进行转化． 即时练 1.化简 sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°，得( ) A. 3 2 B. sin 20° C. cos 20° D．1 2 A [sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°＝sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝ 3 .故选 A.] 2 即时练 2.cos (α－35°) cos (25°＋α) ＋sin (α－35°)sin (25°＋α) 的值为( ) A．－1 2 C．－ 3 2 B．1 2 D． 3 2 B [ 由两角差的余弦公式得 cos(α－35°) cos(25°＋α) ＋sin(α－35°) sin(25°＋α) ＝ cos[(α－35°) －(25°＋α) ]＝cos(－60°) ＝1 2 .故选 B.] 角度二 利用辅助角公式化简与求值 化简下列各式： ( 3 )1 (1) 2 cos x－ 2 sin x； (2) 3 sin x＋cos x； (3) 2 (sin x－cos x). 解析： (1)原式＝cos π 3 cos x－sin π 3 sin x ( π 3 )＋x ＝cos . ( 3 2 )1 (2) 原式＝2 sin x＋ 2 cos x ( π 6 )sin x cos π＋cos x sin ( π 6 )＝2 6 x ＋ ＝2sin . (3