第六章 §5　5.2　平面与平面垂直（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

并证明你的结论． 解析： (1)证明：由题意知，A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. ∵D 是 A1B1 的中点， ∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面 A1B1C1， C1D⊂平面 A1B1C1， ∴AA1⊥C1D. ∵AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面 AA1B1B， ∴C1D⊥平面 AA1B1B. (2)点 F 为 BB1 的中点时， AB1⊥平面 C1DF.证明如下： ∵C1D⊥平面 AA1B1B， AB1⊂平面 AA1B1B， ∴C1D⊥AB1. 易知 A1B1＝ 2 ，∵AA1＝ 2 ， ∴四边形 AA1B1B 为正方形．∴AB1⊥A1B， 又 D 为 A1B1 的中点， F 为 BB1 的中点，∴DF∥A1B， ∴AB1⊥DF，又 DF∩C1D＝D，DF，C1D⊂平面 C1DF， ∴AB1⊥平面 C1DF. 学生用书 第 157 页 5.2 平面与平面垂直 [学习目标] 1.借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中平面与平面垂直的位置关系.2.掌握用几何图形、数学符号表示空间平面与平面垂直的位置关系.3.理解二面角的有关概 念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小． 知识点一 二面角 1. 半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面． 2. 二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 相关概念 ①这条直线称为二面角的棱； ②这两个半平面称为二面角的面 画法 记法 二面角α­AB­β或α­l­β 3. 二面角的平面角 定义 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角称为二面角的平面角 图形 符号 范围 0°≤∠AOB≤180° [点拨] (1)规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度， 就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角称为直二面角． (2) 构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶 点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件 缺一不可．三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直． (3) 当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是 180°.所以二面角的平面角α的范围是 0°≤α≤180°. 如图，在正方体 ABCD­A′B′C′D′中： (1) 求二面角 D′­AB­D 的大小； (2) 求二面角 A′­AB­D 的大小． 解析： (1)在正方体 ABCD­A′B′C′D′中，AB⊥平面 ADD′A′，所以 AB⊥AD′，AB⊥AD， 因此∠D′AD 为二面角 D′­AB­D 的平面角．在 Rt△D′DA 中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′­AB­D 的大小为 45°. (2)因为 AB⊥平面 ADD′A′，所以 AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD 为二面角 A′­AB­D 的平 面角． 又∠A′AD＝90°，所以二面角 A′­AB­D 的大小为 90°. 方法技巧 解决二面角问题的策略 (1) 清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作 平面角的顶点． (2) 求二面角的大小的方法： 一作：即先作出二面角的平面角； 二证：即说明所作角是二面角的平面角； 三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”． 即时练 1.如图，已知 D，E 分别是正三棱柱 ABC­A1B1C1 的侧棱 AA1 和 BB1 上的点，且 A1D＝2B1E＝B1C1 ，则过 D，E，C1 的平面与棱柱的下底面 A1B1C1 所成二面角的大小为 ． 解析： 如图所示，延长 DE 交 A1B1 的延长线于点 F，连接 C1F，则 F 是平面 DEC1 与平面 A1B1C1 的公共点，C1F 为这两个平面的交线． 因此，所求二面角即为二面角 D­C1F­A1. ∵A1D∥B1E，且 A1D＝2B1E， ∴E，B1 分别为 DF，A1F 的中点． ∵A1B1＝B1C1＝B1F，∴FC1⊥A1C1. ∵CC1⊥平面 A1B1C1，FC1⊂平面 A1B1C1， ∴CC1⊥FC1. 又 A1C1，CC1 为平面 AA1C1C 内的两条相交直线， ∴FC1⊥平面 AA1C1C. ∵DC1⊂平面 AA1C1C，∴FC1⊥DC1. ∴∠DC1A1 是二面角 D­C1F­A1 的平面角． 由 A1D＝B1C1 知 A1D＝A1C1，则∠DC1A1＝45°. 故所求二面角的大小为 45