第一章 章末综合提升（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

所以货船可以在 1 时进入港口，在 5 时出港口，或者在 13 时进入港口，17 时出港口． 因为(5－1)＋(17－13)＝8，所以一天内货船最多可以在港口待的时间为 8 小时． 章末综合提升 学生用书 第 44 页 素养一 数学运算 题型一 任意角的三角函数的定义 已知角α的终边经过点 P(m，－6)且 cos α＝－4 5 ，求 sin α和 tan α的值． ( m 2 ＋ 36 )解析： 由题意得 r＝ m2＋（－6）2 ＝ m2＋36 ，故 cos α＝ m 解得 m＝－8. 所以 P(－8，－6)，r＝ （－8）2＋36 ＝10. ＝－4 5 ，m<0， ( ＝ )故 sin α －6 10 ＝－3 5 ，tan －6 ＝3 . ( α ＝ )－8 4 题型二 扇形问题的有关计算 已知扇形的圆心角是α，半径为 R，弧长为 l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长 l； (2) 若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大； (3) ( ＝ )若α π ，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． 3 解析： (1)因为 60°＝π ， 3 所以 l＝10×π 3 10π ＝ 3 (cm). (2) 由已知得 l＋2R＝20，设扇形的面积为 S， 则 S＝1 2 lR＝1 2 (20－2R)R＝－(R－5)2＋25. 所以 R＝5 时，S 取得最大值 25，此时 l＝10 cm，α＝2 rad. (3) ( 弓 )设所求的弓形面积为 S ，由题意可得 l＝2π cm， ( ＝ ) ( － ) ( 弓 )则 S 1 ×2π ×2 1 3 2π ×22×sin π ＝ 3 － ( 3 )(cm2). 2 3 2 3 素养二 直观想象 题型三 三角函数图象的识别 (1)函数 y＝sin x·ln |x| 的图象可能是( ) (2)函数 f(x)＝sin x＋2x cos x＋x2 在[－π，π]上的图象大致为( ) 解析： (1)设 f(x)＝sin x·ln |x| (x≠0)，因为 f(－x)＝sin (－x)·ln |－x| ＝－sin x·ln |x| ＝－f(x)， 所以该函数是奇函数，故它的图象关于原点对称，排除 AB， 学生用书 第 45 页 又因为在(0，1)上，sin x>0，ln |x|＝ln x<0， 则 f(x)<0, 所以排除 C，故选 D. (2)由 f(－x)＝－f(x)及区间[－π，π]关于原点对称，得 f(x)是奇函数，其图象关于原点对 ( π 2 )1＋π 4＋4π 2π 称，排除 A；又 f ＝ π 2 ＝ 2 >1，f(π)＝ π2 －1＋π >0，排除 B，C.故选 D. 2 答案： (1)D (2)D 题型四 三角函数图象的应用 已知函数 f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π 2 )的部分图象如图． (1) 求函数 f(x)的解析式，并写出它的对称中心； (2) 求函数 f(x)的最小值，并求取最小值时 x 的集合； (3) 若函数 f(x)的图象向右平移 m(m>0)个单位长度得到一偶函数的图象，求 m 的最小值． 2π π － － 3 解析： (1)由图象知 T＝4 3 ＝4π. 所以ω＝2π T 2π 1 ＝ ＝ 4π 2 －2π ，所以 f(x)＝A sin 1x＋φ 2 . 又由图象知 f 3 ＝0，f(0)＝ 3 ， 所以 A sin π ( － )＋φ 3 ＝0，① A sin φ＝ 3，② 由①得－π 3 ＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ＋π . 3 ( － )π π ， π 又φ∈ 2 2 ，所以φ＝ . 3 将φ＝π 3 代入②得 A sin π 3 1x＋π ＝ 3 ，所以 A＝2. 所以 f(x)＝2sin 2 3 ， ( ＋ )令 1 x π 2 3 ＝kπ，k∈Z，得 x＝2kπ－2π 3 2kπ－2π，0 ，k∈Z， 所以它的对称中心为 3 ( π 3 )1x ，k∈Z. ＋ (2) 由 f(x)＝2sin 2 知 f(x)min＝－2， 此时 1 2 x＋π 3 ＝－π 2 ＋2kπ，k∈Z， 即 x＝－5π 3 ＋4kπ，k∈Z. |x＝－5π 所以 f(x)取最小值时 x 的集合为{x ( π 3 )1x 3 ＋4kπ，k∈Z}． ＋ (3) f(x)＝2sin 2 向右平移 m 个单位长度得到 y＝f(x－m)为偶函数，即函数图象关 1（x－m）＋π 于 y 轴对称，即 f(x－m)＝2sin 2 3 ＝2sin 1x－m＋ ( π 3 )2 2 ， 所以－m 2 π ＝kπ＋π ( ＋ )3 2 ，k∈Z