第一章 §5 5.1　正弦函数的图象与性质再认识（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

(1) 求 sin α，cos α的值； ( － )cos （α π） (2)求 2 · sin (α－2π)·cos (π－α)的值． ( ＋ )sin （5π α） 2 解析： (1)因为角α的终边在直线 y＝－x (x>0) 上，任取点 P(m，－m)(m>0)，则 r＝ ( 2 m 2 ＋ ( － m ) ) ( 2 m ) ( 2 ) ( )＝ 2 m， 故 sin α＝－m ＝－ 2 ，cos α＝ m ＝ . ( 2 ) ( － 2 2 2 )2m 2 sin α ( ) ( ) 1 (2) ( 2 )原式＝ cos α · sin α· －cos α ＝－ sin α ＝－ ＝－ . 2 10．已知α是第三象限的角， －α＋3π 且 f(α) ＝sin (π－α)sin 2 sin (－α－π) . sin (3π＋α)cos (α＋π) (1) 化简 f(α) ； (2) ( ＋ )若α＝kπ π ，k∈Z，求 f (α) 的值． 6 解析： (1)f(α) ＝sin α(－cos α)sin α ＝－sin α. －sin α（－cos α） (2)由α＝k π ，k∈Z，且α是第三象限的角，得 k＝2t＋1，t∈Z，即α＝2t 7 π， π＋ 6 2tπ＋7π 7 π＋ 6 π π 1 t∈Z.所以 f(α) ＝－sin α＝－sin 6 ＝－sin π＝－sin (π＋ 6 6 )＝sin ＝ . 6 2 学生用书 第 21 页 §5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5．1 正弦函数的图象与性质再认识 [学习目标] 1.借助单位圆能画出正弦函数的图象.2.了解正弦函数的周期性、单调性、奇 偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数在[0，2π]上的性质． 知识点一 正弦函数的图象与性质再认识 ( y ＝ sin x 函数 性质 ) x∈[0，2π]时的图象 x∈R 时的图象 定义域 R 周期 2π 单调性 2kπ－π，2kπ＋π 在每一个区间 2 2 ，k∈Z 上 都 单 调 递 增 ， 在 每 一 个 区 间 2kπ＋π，2kπ＋3π 2 2 ，k∈Z 上都单调递减 最值和值域 π 当 x＝2kπ＋ (k∈Z)时，ymax＝1； 2 3π 当 x＝2kπ＋ (k∈Z)时，ymin＝－1． 2 值域为[－1，1] 奇偶性 奇函数 对称轴 图象关于直线 x＝π ＋kπ，k∈Z 对称 2 对称中心 图象关于点(kπ，0)，k∈Z 对称 [点拨] (1)正弦函数 y＝sin x，x∈R 的图象称作正弦曲线． (2)正弦曲线的对称轴经过其最高点或最低点，此时正弦函数取最大值或最小值． (3)正弦曲线的对称中心是其与 x 轴的交点，此时的正弦函数的值为 0. 角度一 正弦函数的单调性及应用 (1)比较下列各组数的大小： ( π 10 )－π ①sin － 18 与 sin ； ②sin 7 4 与 cos 5 . 3 (2)求函数 y＝－2sin x－1 的单调递增区间． 解析： (1)①因为－π 2 <－ π 10 <－ π 18 π － ，0 <0，正弦函数 y＝sin x 在区间 2 上单调递 增， ( π 18 )－ 所以 sin 5 － ( π 10 )>sin . ( π ＋ 5 2 3 )π 7 π 5 3π ②因为 cos ＝sin 3 ，又 < < ＋ < ， 2 4 2 3 2 而正弦函数 y＝sin x 在 3π ( π 2 )， 2 上单调递减， 7 π＋5 7 5 所以 sin >sin 2 4 3 ， 即 sin >cos . 4 3 (2)因为 y＝－2sin x－1， 所以函数 y＝－2sin x－1 的递增区间就是函数 y＝sin x 的递减区间．所以π 2 ＋2kπ≤x≤ 3π ＋2kπ(k∈Z)， ( π 2 )2 所以函数 y＝－2sin x－1 的递增区间为 方法技巧 ＋2k 3π 2 ( π， )＋2kπ (k∈Z). 1. 用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 2. 求正弦函数的单调区间有两种方法：一是利用 y＝sin x 的单调区间，进行代换，解不等式；二是画图象，从图象上观察，注意定义域，单调区间不能随便并起来． 即时练 1.函数 f(x) ＝5－3sin x 在[0，π] 上的单调递增区间为( ) ( π 2 )π 0， ，π A． 2 B． π 3π ， C． 4 4 D．[0，π] B [f(x