第一章 §4　4.3　诱导公式与对称（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

π 5π ＋2kπ<x< 3 3 ＋2kπ，k∈Z， ( 或 )－5≤x≤5， 解得－5≤x<－π π 3 3 <x≤5. 答案： [－5 π )∪(π ，5] ，－ 3 3 9．求下列函数的单调区间： (1) y＝sin x，x∈ π 5π － ， 6 6 ； (2)y＝1－1 2 cos x. ( π 2 ) ( － ) ( ， )π π 5π ， 解析： (1)函数 y＝sin x 的单调递增区间是 6 2 ，单调递减区间是 6 . (2)∵－1 2 <0，∴y＝1－1 2 cos x 的单调性与 y＝cos x 的单调性相反． ∵y＝cos x 的单调增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)， ∴y＝1－1 2 cos x 的单调减区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调增区间是[2kπ，2kπ＋ π](k∈Z). 10．(1)已知函数 y＝acos x＋b 的最大值是 0，最小值是－4，求 a，b 的值； (2) 求 y＝－2sin x，x∈ π 3π ( － )， 6 4 的最大值与最小值． 解析： (1)当 a>0 时， a＋b＝0， －a＋b＝－4， a＝2， 解得 b＝－2. 当 a<0 时， －a＋b＝0， a＋b＝－4， a＝－2， 解得 b＝－2. ∴a＝2，b＝－2 或 a＝b＝－2. (2)结合单位圆可知，y＝sin x 在[－π ( [ )6 ，π ]上单调递增，在[π 2 2 ，3π 4 ]上单调递减，所以 函数 y＝－2sin x，x∈[－π 6 ，3π 4 ]在[－π 6 ，π ]上单调递减，在 π 2 2 ，3π 4 ]上单调递增，－2sin (－π 6 )＝1，－2sin 3π 4 ＝－ 2 ，－2sin π 2 ＝－2，所以当 x＝－π 6 时，ymax＝1，当 x＝π 时， 2 ymin＝－2. 4．3 诱导公式与对称 [学习目标] 1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导 过程． 知识点 角－α，α±π，π－α的正(余)弦公式 终边关系 图示 角－α与角α的终边关于 x 轴对称 公式 sin (－α)＝－sin_α，cos (－α)＝cos_α，v＝sin α是奇函数，u＝cos α是偶函数 终边关系 图示 角α－π与角α的终边关于原点对称角α＋π与角α的终边关于原点对称 公式 sin (α＋π)＝－sin_α，cos (α＋π)＝－cos_α， sin (α－π)＝－sin α，cos (α－π)＝－cos α 终边关系 图示 角π－α与角α的终边关于 y 轴对称 公式 sin (π－α)＝sin_α，cos (π－α)＝－cos_α [点拨] 四组诱导公式的共同特点 －α，α±π，π－α的三角函数值等于α的同名三角函数值，再添上原函数的符号．简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．诱导公式的作用：把任意角转化为锐角． 角度一 利用诱导公式求三角函数值 求下列三角函数值： (1)sin (－1 200°)；(2)cos 119π . 6 解析： (1)sin (－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin (3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－ sin [180°＋(－60°)]＝sin (－60°)＝－sin 60°＝－ 3 . 2 119π 20π－π π 3 (2)cos ＝cos 6 6 ＝cos ＝cos ＝ . 6 2 ( － π 6 )方法技巧 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1) “负化正”； (2) “大化小”：用诱导公式将角化为 0°到 360°间的角； (3)“小化锐”：用诱导公式将大于 90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 学生用书 第 17 页 －17π 即时练 1.cos 6 A．1 2 C． 3 2 －17π 的值为( ) B．－1 2 D．－ 3 2 17π 5π 5 π π D [cos 3 .] 2 6 ＝cos ＝cos (2π＋ )＝cos π＝cos (π－ )＝－cos ＝－ 6 6 6 6 6 3 . 2 即时练 2.sin 840°＝ ． 解析： sin 840°＝sin (720°＋120°) ＝sin 120°＝sin (180°－60°)＝sin 60°＝ 答案： 3 2 角度二 给值(或式)求值问题 (1) 已知 cos (π 6 －α)＝ 3 3 5π ，求 cos ( 6 ＋α)的值； (2) ( － )已知 cos ( 11 π－α)＝ 3 ，求 cos (5π ＋α)的值． 6 解