第一章 §4　4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

又 S AOB＝1 ×10×5 3 ＝25 3 ， △ 所以 S＝S 2 扇－S 50π △AOB＝ －25 3 . 3 学生用书 第 10 页 §4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 [学习目标] 1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系.2.掌握任意角的正弦、余弦的定义． 知识点一 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 1. 单位圆中锐角的正弦函数、余弦函数的定义 对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点 P(u，v)，过点 P 向 x 轴作垂线，垂足为 M.在 Rt △OMP 中，OP＝1，OM＝u，MP＝v，有 sin α＝MP ＝v ＝v，cos α＝OM ＝u ＝u. OP 1 OP 1 由此可知，对于锐角α来说，点 P 的纵坐标v是该角的正弦函数值，记作v＝sin_α；点 P 的横坐标 u 是该角的余弦函数值，记作 u＝cos_α． 2. 单位圆中的任意角的正弦函数与余弦函数的定义 给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为 P(u，v)，点 P 的纵坐标v、横 坐标 u 都是唯一确定的．仿照上述锐角三角函数的定义，把点 P 的纵坐标v定义为角α的正弦值，仍记作v＝sin_α；把点 P 的横坐标 u 定义为角α的余弦值，仍记作 u＝cos_α． 8π 在平面直角坐标系的单位圆中，α＝ . 3 (1) 画出角α； (2) 求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值． 解析： (1)因为α＝8π 3 2π ＝2π＋ ， 3 所以角α的终边与角2π 3 的终边相同． 以原点为角的顶点，以 x 轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转8π 3 ，与单位圆交于点 P， 则角α如图所示． (2) ( 角 )由(1)知，点 P 在第二象限，且在 2π 3 的终边上，所以点 P 的坐标为 －1， 3 2 2 . (3) 由(2)及正、余弦函数的定义可得 sin 8π 3 ＝ 3 2 ，cos 8π 3 ＝－1 . 2 方法技巧 三角函数定义的应用 (1) 首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解． (2)在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，应分两种情况处 理． 即时练 1.在平面直角坐标系中，以 x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别 12， 5 －3，4 与单位圆交于点 13 A．－36 65 C． 4 13 13 和 5 5 ，那么 sin αcos β＝( ) B. － 3 13 D．48 65 12， 5 －3，4 B [由题意，角α，β的终边与单位圆分别交于点 13 13 和 5 5 ，由三角函数的 定义，可得 sin α＝ 5 13 ，cos β＝－3 5 ，所以 sin αcos β＝ 5 13 － 3，y ×(－3 5 )＝－ 3 13 .故选 B.] 即时练 2.已知角α的终边与单位圆交于点 P 2 ，则 sin α＝( ) A．－ 3 6 C. ±1 2 C [由题意得：(－ 3 2 B．± 3 3 D. ±3 2 )2＋y2＝1，∴ y＝±1 ， 2 ∴sin α＝y＝±1 2 ，故选 C.] 学生用书 第 11 页 知识点二 任意角的终边上任一点的正弦函数、余弦函数的定义 1．任意角的终边上任一点的正弦和余弦函数的定义 设角α终边上除原点外的一点 Q(x，y)，则 sin α＝y ，cos α＝x ，其中 r＝ x2＋y2 . r r [点拨] (1)对任意一个给定的角α，它只有唯一的一条终边，从而终边与单位圆只有唯一 的交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的． (2) ( α 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 5π 6 v ＝ sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 1 2 u ＝ cos α 1 3 2 2 2 1 2 0 － 1 2 － 3 2 α π 7π 6 4π 3 3π 2 5π 3 11π 6 2 π v ＝ sin α 0 － 1 2 － 3 2 － 1 － 3 2 － 1 2 0 u ＝ cos α － 1 － 3 2 － 1 2 0 1 2 3 2 1 )根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到 sin2α＋cos2α＝1. 2．特殊角的正弦函数值、余弦函数值 (1)已知角α的终边过点 P(－3a，4a)(a≠0)，求 2sin α＋cos α的值； ( θ ＝ )(2)已知θ终边上一点 P(x，3)(x≠0)，且 cos 10 10 x，求