专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用（专项训练）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用（专项训练） 1．如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为 　　． 【解答】解：∵BE⊥AD， ∴∠EBD＝∠CAD＝90°， ∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°， ∴∠E＝∠ADC， 在△ACD和△BDE中， ， ∴△ACD≌△BDE（AAS）， ∴BE＝AD， ∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7﹣4＝3， 故答案为：3． 2．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 　　． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴AE＝EF，∠AEF＝90°， ∴∠FEC+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC， 在△ABE和△ECF中， ， ∴△ABE≌△ECF（AAS）， ∴AB＝CE，BE＝CF， ∵点F是CD的中点， ∴CF＝CD， ∴BE＝CF＝AB， ∵BE+CE＝BC＝12， ∴AB+AB＝12， ∴AB＝8， 故答案为：8． 3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， 而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE． 在△ADC和△CEB中，， ∴△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝DC+CE＝BE+AD； （2）证明：在△ADC和△CEB中，， ∴△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE； （3）DE＝BE﹣AD． 易证得△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD． 4．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA． （2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠BCE+∠ACD＝180°， ∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°， ∴∠ACD＝∠EBC， 在△BEC和△CDA中， ， ∴△BEC≌△CDA（AAS）； （2）解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E， ∵∠DBA＝∠DAB， ∴AD＝BD， ∴AF＝BF＝AB＝， ∵∠CAD＝90°， ∴∠DAF+∠CAE＝90°， ∵∠DAF+∠ADF＝90°， ∴∠CAE＝∠ADF， 在△CAE和△ADF中， ， ∴△CAE≌△ADF（AAS）， ∴CE＝AF＝， 即点C到AB的距离为； 5．如图，△ACB在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AC的中点，点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为 　　． 【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作x轴的平行线交AE的延长线于点F，则四边形DCFE是矩形， ∵点A的坐标是（1，2）， ∴OE＝1，AE＝2， ∵CD⊥BD，AE⊥OE， ∴∠ODC＝∠AEO＝90°， ∵∠AOE＝∠DOC，OA＝OC， ∴△AOE≌△COD（AAS）， ∴AE＝DC＝2，OE＝OD＝1， ∴DE＝CF＝2， ∵∠ACB＝∠AFC＝90°，∠BOC＝∠AOE， ∴∠CBD＝∠CAF， 又∵BC＝AC， ∴△BCD≌△ACF（AAS）， ∴BD＝AF，CD＝CF＝2， ∴AF＝4， ∴BD＝4， ∴OB＝BD+DO＝4+1＝5， ∴B（﹣5，0）． 故答案为：（﹣5，0）． 6．已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，C